교정 가능 집합 문서 원본 보기

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[[측도론]]에서, '''교정 가능 집합'''(矯正可能集合, {{llang|en|rectifiable set}})은 근사 [[접공간]]의 개념을 정의할 수 있는 최소한의 구조를 갖춘, [[유클리드 공간]] 속의 [[부분 집합]]이다.

== 정의 ==
[[유클리드 공간]] <math>\mathbb R^n</math> 속의 [[부분 집합]]
:<math>S \subseteq \mathbb R^n</math>
및 자연수 <math>k</math> 및 함수 집합
:<math>\mathcal F \subseteq \mathcal C^0(\mathbb R^k, \mathbb R^n)</math>
에 대하여 다음과 같은 조건을 정의할 수 있다.
:조건 ㈀: 어떤 [[가산 집합]] <math>F \subseteq \mathcal F</math>에 대하여, <math>S \setminus \textstyle\bigcup_{f\in F}f(\mathbb R^k)</math>의 <math>k</math>차원 [[하우스도르프 측도]]가 0이다.

그렇다면, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 부분 집합을 '''<math>k</math>차원 교정 가능 집합'''({{llang|en|<math>k</math>-dimensional rectifiable set}})이라고 한다.
* <math>\mathcal F=\mathcal C^1(\mathbb R^k,\mathbb R^n)</math>가 [[연속 미분 가능 함수]]의 집합일 경우의 조건 ㈀
* <math>\mathcal F=\operatorname{Lip}(\mathbb R^k,\mathbb R^n)</math>가 [[립시츠 연속 함수]]의 집합일 경우의 조건 ㈀

== 예 ==
평면 속의 단위 정사각형 <math>\square \subsetneq \mathbb R^2</math> 속에서, 그 [[조밀 집합]]인 [[가산 집합]] <math>\{x_0,x_1,\dotsc\}\subsetneq\square</math>을 고르자. 또한, 수렴하는 양의 실수의 [[급수 (수학)|급수]]
:<math>\sum_{i=0}^\infty r_i < \infty</math>
를 고르자. 그렇다면, <math>S</math>가 <math>x_i</math>를 중심으로 하는, 반지름 <math>r_i</math>의 원들의 합집합이라고 하자.
:<math>S = \{y\in\mathbb R^2\colon \exists i\in\mathbb N\colon d(y,x_i) = r_i\}</math>
그렇다면, 이는 평면 속의 1차원 교정 가능 집합이다.

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Rectifiable set}}

[[분류:측도론]]