교대군 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[군론]]에서 '''교대군'''(交代群, {{llang|en|alternating group}})은 유한 집합의 원소들에 대한 [[짝순열]]들로 이루어진 [[유한군]]이다. <math>n</math>개의 원소에 대한 교대군의 기호는 <math>A_n</math> 또는 <math>\operatorname{Alt}(n)</math>이다.

== 정의 ==
[[대칭군]] <math>S_n</math>의 각 원소들은 [[순열의 홀짝성]]에 따라 두 부류로 나뉜다. 홀짝성 함수는 [[군 준동형]]
:<math>p\colon S_n\to\mathbb Z/2\mathbb Z</math>
을 이룬다. '''교대군''' <math>A_n</math>은 이 준동형의 [[핵 (수학)|핵]]이다.
:<math>A_n\cong\ker p\triangleleft S_n</math>
즉, 다음과 같은 [[짧은 완전열]]이 존재한다.
:<math>1\to A_n\hookrightarrow S_n\twoheadrightarrow\mathbb Z/2\mathbb Z\to1</math>

== 성질 ==
<math>n>1</math>인 교대군 <math>A_n</math>은 <math>n!/2</math>개의 원소를 가지며, <math>n<3</math>인 경우 교대군은 [[자명군]]이다. <math>n>1</math>인 교대군 <math>A_n</math>은 대칭군 <math>S_n</math>의 [[교환자 부분군]]이다.

교대군이 [[아벨 군]]일 [[필요충분조건]]은 <math>n \le 3</math>이다. [[단순군]]일 필요충분조건은 <math>n = 3</math>이거나 <math>n \ge 5</math>이다.

<math>A_4</math>는 [[클라인 4원군]]을 [[정규 부분군]]으로 가진다.
  
== 낮은 차수의 교대군 ==
낮은 차수의 교대군은 다른 군들의 족과 동형인데, 다음과 같다.
{| class="wikitable"
|-
! 교대군 !! 다른 이름
|-
| ''A''<sub>0</sub>, ''A''<sub>1</sub>, ''A''<sub>2</sub> || 1 ([[자명군]])
|-
| ''A''<sub>3</sub> || <math>\mathbb Z/3\mathbb Z</math> ([[순환군]])
|-
| ''A''<sub>4</sub> || <math>\operatorname{PSL}(2;\mathbb F_3)</math>
|-
| ''A''<sub>5</sub> || <math>\operatorname{PSL}(2;\mathbb F_4)\cong\operatorname{PSL}(2;\mathbb F_5)</math>
|-
| ''A''<sub>6</sub> || <math>\operatorname{PSL}(2;\mathbb F_9)</math>
|-
| ''A''<sub>8</sub> || <math>\operatorname{PSL}(4;\mathbb F_2)</math>
|}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Alternating group|first=N. N.|last=Vil'yams}}
* {{매스월드|d=AlternatingGroup|title=Alternating group}}

[[분류:유한군]]
[[분류:순열군]]