관성 모멘트 목록 문서 원본 보기

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다음은 [[관성 모멘트]]와 [[단면 이차 모멘트]]의 목록이다.

__FORCETOC__

== 관성 모멘트 ==

관성 모멘트는 질량 × 길이<sup>2</sup> 의 [[차원]]을 갖는다. 다음의 목록은 한 알갱이(질점)에 대한 관성 모멘트 <math>\int r^2\,dm</math>로부터 유도되었다.

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! 설명 || 그림 || 관성 모멘트 || 비고
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| 반지름이 <math>r</math>이고 질량이 <math>m</math>인 속이 빈 위 아래로 뚫려있는 [[원기둥]]
|[[파일:moment_of_inertia_thin_cylinder.png]]||<math>I = m r^2 \,</math>|| —
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| 안쪽 반지름이 <math>r_1</math>, 바깥 반지름이 <math>r_2</math>이고 질량이 <math>m</math>인 두꺼운 [[원기둥]]
|[[파일:moment_of_inertia_thick_cylinder.png]]
|<math>I_z = \frac{1}{2} m({r_2}^2 + {r_1}^2)</math><br><math>I_x = I_y = \frac{1}{12} m[3({r_2}^2 - {r_1}^2)+h^2]</math><br> 또는 <math>t_n = \frac{t}{r}</math>이고 <math>r = r_2</math>라고 하면<br><math>I_z = mr^2(1-t_n+\frac{1}{2}t_n^2) </math>
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| 반지름 <math>r</math>, 높이 <math>h</math>, 질량 <math>m</math>인 원기둥
|[[파일:moment_of_inertia_solid_cylinder.png]]||<math>I_z = \frac{1}{2} mr^2</math><br><math>I_x = I_y = \frac{1}{12} m(3r^2+h^2)</math>||—
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| 반지름 <math>r</math>, 질량 <math>m</math>인 얇은 원판||[[파일:moment of inertia disc.png]]||<math>I_z = \frac{1}{2} mr^2</math><br><math>I_x = I_y = \frac{1}{4} mr^2</math>||—
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| 반지름 <math>r</math>, 질량 <math>m</math>인 [[구 (기하학)|구]]||[[파일:moment_of_inertia_solid_sphere.png]]||<math>I = \frac{2}{5} mr^2</math>||—
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| 반지름 <math>r</math>, 질량 <math>m</math>인 구 껍질||[[파일:moment_of_inertia_solid_sphere.png]]||<math>I = \frac{2}{3} mr^2</math>||—
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| 반지름 <math>r</math>, 높이 <math>h</math>, 질량 <math>m</math>인 [[원뿔 (기하학)|직원뿔]]||[[파일:moment_of_inertia_cone.png]]||<math>I_z = (3/10)mr^2 \,\!</math><br><math>I_x = I_y = (3/5)m(r^2/4+h^2) \,\!</math>||—
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| 높이 <math>h</math>, 너비 <math>w</math>, 깊이 <math>d</math>, 질량 <math>m</math>인 [[직육면체]]||[[파일:moment_of_inertia_solid_rectangular_prism.png]]||<math>I_h = \frac{1}{12} m(w^2+d^2)</math><br><math>I_w = \frac{1}{12} m(h^2+d^2)</math><br><math>I_d = \frac{1}{12} m(h^2+w^2)</math>||모서리 길이 <math>s</math>, 질량 <math>m</math>인 정육면체의 경우, <math>I_{CM} = \frac{1}{6} ms^2</math>.
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| 길이 <math>L</math>, 질량 <math>m</math>인 막대||[[파일:moment_of_inertia_rod_center.png]]||<math>I_{center} = \frac{1}{12} mL^2</math>||가느다란 선(강체)에 질량이 분포되어 있다고 가정한 근사값임.
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| 길이 <math>L</math>, 질량 <math>m</math>인 막대||[[파일:moment_of_inertia_rod_end.png]]||<math>I_{end} = \frac{1}{3} mL^2</math>||가느다란 선(강체)에 질량이 분포되어 있다고 가정한 근사값임.
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| 반지름 <math>a</math>, 단면 반지름 <math>b</math>, 질량 <math>m</math>인 [[원환체]](토러스)||[[파일:torus_cycles.png|122px]]||지름에 대해서: <math>\frac{1}{8}(4a^2 + 5b^2)m</math><br>수직축에 대해서: <math>(a^2 + \frac{3}{4}b^2)m</math>||—
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| 꼭짓점이 <math>\vec{P}_{1}</math>, <math>\vec{P}_{2}</math>, <math>\vec{P}_{3}</math>, ..., <math>\vec{P}_{N}</math>, 질량 <math>m</math>인 얇은 다각형 판||[[파일:Polygon Moment of Inertia.svg|130px]]||<math>I=\frac{m}{6}\frac{\sum_{n=1}^{N}||\vec{P}_{n+1}\times\vec{P}_{n}||(\vec{P}^{2}_{n+1}+\vec{P}_{n+1}\cdot\vec{P}_{n}+\vec{P}_{n}^{2})}{\sum_{n=1}^{N}||\vec{P}_{n+1}\times\vec{P}_{n}||}</math>||<small><math>{\begin{Vmatrix}  \overrightarrow P_{n} \end{Vmatrix}}</math></small>는 <small><math>\overrightarrow P_{n} </math></small>의 크기를 이야기하는 것이다. 
|}

== 단면 이차 모멘트 ==
[[단면 이차 모멘트]]는 길이<sup>4</sup> 을 차원으로 갖는다. 아래는 따로 언급하지 않으면, [[도심 (기하학)|도심]](또는 [[질량중심]])을 지나는 수평축에 대한 단면 이차 모멘트의 목록이다.

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! 설명 || 그림 || 단면 이차 모멘트 || 비고
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| 반지름 <math>r \,</math>(지름 D)인 원||[[파일:Area_moment_of_inertia_of_a_circle.svg|섬네일]]||<math>I_0 = \pi r^4/4=\pi D^4/64</math>||
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| 안쪽 반지름 <math>r_1</math>, 바깥쪽 반지름 <math>r_2</math>인 가운데가 빈 원||[[파일:Area_moment_of_inertia_of_a_circular_area.svg|섬네일]]||<math>I_0 = \frac{1}{4} \pi({r_2}^4-{r_1}^4)</math>|| 
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| 단면의 도심과 원의 중심을 지나는 수평축에 대해 각도 <math>\theta \,</math>([[라디안]]), 반지름 <math>r \,</math>인 원호||[[파일:Area_moment_of_inertia_of_a_circular_sector.svg|섬네일]]||<math>I_0 = \left(\theta -\sin\theta\right)\frac{r^4}{8} \,</math>|| 
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| 반지름 <math>r \,</math>인 반원||[[파일:Area_moment_of_inertia_of_a_semicircle_2.svg|섬네일]]||<math>I_0 = \left(\frac{\pi}{8} - \frac{8}{9\pi}\right)r^4 \,</math>||단면의 도심을 지나는 축에 대한 값.
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| 반지름 <math>r \,</math>인 반원||[[파일:Area_moment_of_inertia_of_a_semicircle.svg|섬네일]]||<math>I = \pi r^4/8 \,</math>||단면의 밑변을 지나는 축에 대한 값. 평행축 정리에 의해 구할 수 있음(도심으로부터 축까지의 거리는 <math>4r/3\pi \,</math>).
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| 반지름 <math>r \,</math>인 반원||align="center"|[[파일:Area_moment_of_inertia_of_a_semicircle_3.svg|섬네일]]||<math>I_0 = \pi r^4/8 \,</math>||단면의 도심을 지나는 수직축에 대한 값.
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| 반지름 <math>r \,</math>이고 1[[사분면]]에 놓여 있는 사분원||[[파일:Area_moment_of_inertia_of_a_quartercircle.svg|섬네일]]||<math>I = \pi r^4/16 \,</math>||단면의 밑변을 지나는 축에 대한 값.
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| 반지름 <math>r \,</math>이고 1[[사분면]]에 놓여 있는 사분원||[[파일:Area_moment_of_inertia_of_a_quartercircle_2.svg|섬네일]]||<math>I_0 = \left(\frac{\pi}{16}-\frac{4}{9\pi}\right)r^4 \,</math>||단면의 도심을 지나는 수평 또는 수직축에 대한 값. 평행축 정리에 의해 구할 수 있음(도심으로부터 축까지의 거리는 <math>4r/3\pi \,</math>).
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| x 반지름 <math>a \,</math>, y 반지름 <math>b \,</math>인 타원||[[파일:Area_moment_of_inertia_of_an_ellipsis.svg|섬네일]]</td><td><math>I_0 = \pi ab^3/4 \,</math>||
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| 너비 <math>b \,</math>, 높이 <math>h \,</math>인 직사각형||[[파일:Area_moment_of_inertia_of_a_rectangle.svg|섬네일]]||<math>I_0 = bh^3/12 \,</math>||
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| 너비 <math>b \,</math>, 높이 <math>h \,</math>인 직사각형||[[파일:Area_moment_of_inertia_of_a_rectangle_2.svg|섬네일]]||<math>I = bh^3/3 \,</math>||단면의 밑변을 지나는 축에 대한 값.
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| 밑변 <math>b \,</math>, 높이 <math>h</math>인 삼각형||[[파일:Area_moment_of_inertia_of_a_triangle.svg|섬네일]]||<math>I_0 = bh^3/36 \,</math>||
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| 밑변 <math>b \,</math>, 높이 <math>h</math>인 삼각형||[[파일:Area_moment_of_inertia_of_a_triangle_2.svg|섬네일]]||<math>I = bh^3/12 \,</math>||단면의 밑변을 지나는 축에 대한 값. 평행축 정리를 이용해 구할 수 있음(도심으로부터 축까지의 거리 <math>h/3 \,</math>).
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| 한 변의 길이가 <math>a \,</math>인 육각형||[[파일:Area_moment_of_inertia_of_a_regular_hexagon.svg|섬네일]]||<math>I_0 = 5\sqrt{3}a^4/16 \,</math>||단면의 도심을 지나는 임의의 수직축, 수평축에 대해서 동일하다.
|}

== 같이 보기 ==
* [[평행축 정리]]
* [[수직축 정리]]
== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용 |저자= 전찬기, 이종헌, 정환호, 김운학, 김경진|날짜= 2015|제목= 토목기사 과년도 시리즈 응용역학|출판사= 성안당|쪽= 84-85|isbn= 978-89-315-6807-3 }}

[[분류:역학]]
[[분류:물리학에 관한 목록]]
[[분류:강체]]
[[분류:모멘트 (물리학)]]