공 (기하학) 문서 원본 보기

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{{다른 뜻 넘어옴|구체|음반|구체 (음반)}}
[[파일:Sphere wireframe.svg|섬네일|300px|공은 구의 내부이다.]]
[[수학]]에서 '''공'''({{llang|en|ball}})은 [[구 (기하학)|구]]의 안쪽, 또는 그 경계인 구까지 포함한 것이다. 공의 개념은 3차원 유클리드 공간뿐만 아니라, [[유클리드 공간]] · [[거리 공간]] · [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]으로 확장된다.

== 정의 ==
=== 유클리드 공간 ===
[[유클리드 공간]] <math>\R^n</math> 및 그 속의 원소 <math>a\in\R^n</math> 및 [[실수]] <math>r\in\R</math>이 주어졌다고 하자.
* 중심이 <math>a</math>, 반지름이 <math>r</math>인 '''열린 공'''({{llang|en|open ball}}) <math>B_r(a)</math>는 다음과 같은 집합이다.
*:<math>B_r(a)=\{x\in\R^n\colon\|x-a\|<r\}</math>
* 중심이 <math>a</math>, 반지름이 <math>r</math>인 '''닫힌 공'''({{llang|en|closed ball}}) <math>B_r[a]</math>는 다음과 같은 집합이다.
*:<math>B_r[a]=\{x\in\R^n\colon\|x-a\|\le r\}</math>

=== 거리 공간 ===
[[거리 공간]] <math>(X,d)</math> 및 그 속의 원소 <math>a\in X</math> 및 실수 <math>r\in\R</math>이 주어졌다고 하자.
* 중심이 <math>a</math>, 반지름이 <math>r</math>인 '''열린 공'''({{llang|en|open ball}}) <math>B_r(a)</math>는 다음과 같은 집합이다.
*:<math>B_r(a)=\{x\in X\colon d(x,a)<r\}</math>
* 중심이 <math>a</math>, 반지름이 <math>r</math>인 '''닫힌 공'''({{llang|en|closed ball}}) <math>B_r[a]</math>는 다음과 같은 집합이다.
*:<math>B_r[a]=\{x\in X\colon d(x,a)\le r\}</math>

== 성질 ==
닫힌 공이 항상 그에 대응하는 열린 공의 [[폐포 (위상수학)|폐포]]이지는 않은 데 주의하자.

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용 |저자=William R. Wade|제목=An Introduction to Analysis|연도=2003|출판사=Pearson/Prentice Hall|판=Third Edition|장=3.6 Topology of R<sup>n</sup>}}
* {{서적 인용 |저자=William R. Wade|제목=An Introduction to Analysis|연도=2003|출판사=Pearson/Prentice Hall|판=Third Edition|장=Chapter 10 Metric Spaces}}

== 같이 보기 ==
* [[구 (기하학)|구]]
* [[초구]]

{{전거 통제}}

[[분류:구 (기하학)]]
[[분류:위상수학]]
[[분류:계량기하학]]