공역 문서 원본 보기

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[[파일:Codomain2.SVG|right|섬네일|250px|함수 <math>f\colon X\to Y</math>이다. 파란색 집합 {{mvar|Y}}는 함수 {{mvar|f}}의 공역이다. {{mvar|Y}}의 노란색 부분집합은 정의역의 [[상 (수학)|상]] 또는 {{mvar|f}}의 [[치역]]이다.]]
[[수학]]에서 어떤 함수의 '''공역'''(共域, {{llang|en|codomain, target set}}) 또는 '''공변역'''(共變域)은 이 함수의 값들이 속하는 집합이다.

== 정의 ==
[[수학]]에서, 함수 <math>f\colon X\to Y</math>는 집합 <math>X</math>의 모든 원소를 각각 집합 <math>Y</math>의 한 원소에 대응시키는 수학적 구조다. 이 경우, <math>Y</math>를 <math>f</math>의 '''공역'''이라고 한다. 반면, <math>X</math>는 <math>f</math>의 [[정의역]]이다.

모든 <math>y\in Y</math>에 대하여, <math>f(x)=y</math>인 <math>x\in X</math>가 존재할 필요는 없다. 즉, 공역의 모든 원소가 [[정의역]]의 [[상 (수학)|상]]에 포함될 필요는 없다. 정의역의 [[상 (수학)|상]], 즉 <math>f(x)=y</math>인 <math>x\in X</math>가 존재하는 <math>y</math>들의 집합을 <math>f</math>의 [[치역]]이라고 한다. 치역은 항상 공역의 부분집합이지만, 치역이 공역과 같을 필요는 없다.

현대적 관점에서, 함수는 정의역과 공역 및 이들 사이의 관계(그래프)로 구성된다. 즉, 그래프가 같더라도 공역이 다르다면 두 함수를 다른 함수로 간주한다.

== 예 ==
함수 <math>f</math>가 다음과 같이 정의되었다고 하자.
: <math>f\colon \mathbb R\to\mathbb R</math>
: <math>f\colon x\mapsto x^2</math>
이 경우, <math>f</math>의 공역은 <math>\mathbb R</math>이지만, <math>f</math>의 치역은 <math>[0,\infty)\subset\mathbb R</math>이다.

함수 <math>g</math>가 다음과 같이 정의되었다고 하자.
: <math>g\colon\mathbb R\to[0,\infty)</math>
: <math>g\colon x\mapsto x^2</math>
<math>f</math>와 <math>g</math>는 같은 그래프를 가지지만, 현대적 관점에서는 두 함수는 같지 않다. 그 이유는 두 함수의 공역이 다르기 때문이다.

함수를 하나 더 정의해 보면 왜 그런지 알 수 있다.
:<math>h\colon x\mapsto \sqrt x</math>

정의역은 반드시 <math>[0,\infty)</math>로 정의되어야 한다.
: <math>h\colon[0,\infty)\to\mathbb R</math>

이제 함수를 [[함수의 합성|합성]]해 보자.
:<math>h \circ f</math>
:<math>h \circ g</math>

이 둘 중에서 어떤 합성 함수가 올바른 것인가?

밝혀진 대로, 첫 번째 것은 올바른 합성 함수가 아니다. <math>f</math>의 치역을 알지 못한다고 가정하면(확실히 알지 못하는 상황이라면 이렇게 가정해야 한다), 단지 치역이 <math>\mathbb R</math>의 일부가 된다는 것밖에 알지 못한다. 그러면 제곱근이 음수에 대하여 정의되지 않았기 때문에 문제가 생기게 된다. 이제 모순점이 생길 수 있다는 것을 알았다.

이것은 분명치 못하며, 이런 것은 피해야 한다. 함수의 합성은 따라서 오른쪽 함수의 공역과 왼쪽 함수의 정의역이 같아야 할 수 있다는 것이다. 치역은 함수를 합성하는 시점에서는 결정되지 않을 수 있는 것이기 때문이다.

공역은 [[전사 함수]]인지 아닌지에 대해서도 영향을 줄 수 있다. <math>g</math>는 전사 함수인데, <math>f</math>는 그렇지 않다. 공역은 함수가 [[단사 함수]]인지 아닌지에는 영향을 미치지 않는다.

== 같이 보기 ==
* [[정의역]]
* [[치역]]

{{집합론}}

[[분류:함수와 사상]]
[[분류:집합론의 기본 개념]]