곱 규칙 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
{{다른 뜻|곱 규칙 (조합론)}}
{{미적분학}}

[[미적분학]]에서 '''곱 규칙'''(-規則, {{llang|en|product rule}}) 또는 '''곱의 미분법''' 또는 '''라이프니츠 법칙'''({{llang|en|Leibniz rule}})은 함수의 곱의 [[미분]]을 구하는 공식이다.

== 정의 ==
=== 실변수 실숫값 함수의 경우 ===
만약 두 함수 <math>f,g\colon I\to\mathbb R</math>가 <math>x_0\in I\subseteq\mathbb R</math>에서 미분 가능하다면, <math>fg</math> 역시 <math>x_0</math>에서 미분 가능하며, 그 미분은 다음과 같다.
:<math>(fg)'(x_0)=f'(x_0)g(x_0)+f(x_0)g'(x_0)</math>
이를 [[라이프니츠 표기법]]을 사용하여 쓰면 다음과 같다.
:<math>\frac d{dx}(fg)(x_0)=g\frac{df}{dx}(x_0)+f\frac{dg}{dx}(x_0)</math>
[[선형 근사]]를 사용하여 쓰면 다음과 같다.
:<math>d(fg)|_{x=x_0}=(gdf+fdg)|_{x=x_0}</math>
만약 함수 <math>f_1,\dotsc,f_k\colon I\to\mathbb R</math>가 <math>x_0\in I\subseteq\mathbb R</math>에서 미분 가능하다면, <math>f_1f_2\cdots f_k</math>의 <math>x_0</math>에서의 미분은 다음과 같다.
:<math>(f_1f_2\cdots f_k)'(x_0)=f_1'(x_0)f_2(x_0)\cdots f_k(x_0)+f_1(x_0)f_2'(x_0)\cdots f_k(x_0)+\cdots f_1(x_0)f_2(x_0)\cdots f_k'(x_0)</math>
보다 일반적으로, 만약 <math>f,g</math>가 <math>n</math>계 도함수를 갖는다면, <math>fg</math> 역시 <math>n</math>계 도함수를 가지며, 이는 다음과 같다. (여기에 나오는 계수는 [[이항 계수]]이다.)
:<math>(fg)^{(n)}(x)=\sum_{k=0}^n\binom nk f^{(n-k)}(x)g^{(k)}(x)</math>
만약 <math>f_1,f_2,\dotsc,f_k</math>가 <math>n</math>계 도함수를 갖는다면, <math>f_1f_2\cdots f_k</math>의 <math>n</math>계 도함수는 다음과 같다. (여기에 나오는 계수는 [[다항 계수]]이다.)
:<math>(f_1f_2\cdots f_k)^{(n)}(x)=\sum_{n_1,n_2,\dotsc,n_k\ge0}^{n_1+n_2+\cdots+n_k=n}\frac{n!}{n_1!n_2!\cdots n_k!}f_1^{(n_1)}(x)f_2^{(n_2)}(x)\cdots f_k^{(n_k)}(x)</math>

=== 다변수 벡터값 함수의 경우 ===
두 함수 <math>f,g\colon U\to\mathbb R</math>가 <math>\mathbf x_0\in U\subseteq\mathbb R^n</math>에서 변수 <math>x_i</math>에 대한 편미분이 존재한다고 하자. 그렇다면 <math>fg</math> 역시 그러하며, 그 <math>x_i</math>에 대한 편미분은 다음과 같다.
:<math>\frac{\partial}{\partial x_i}(fg)(\mathbf x_0)=g(\mathbf x_0)\frac{\partial f}{\partial x_i}(\mathbf x_0)+f(\mathbf x_0)\frac{\partial g}{\partial x_i}(\mathbf x_0)</math>

== 증명 ==
함수 f를 <math>f(x) = g(x)h(x)</math>로 정의한다. 이때 <math>f'(x)</math>를 [[도함수]]의 정의에 따라 구하면,

:<math>f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}</math>
:<math>= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{g(x + \Delta x)h(x + \Delta x) - g(x)h(x)}{\Delta x}</math>
:<math>= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{g(x)h(x + \Delta x) - g(x)h(x) + g(x + \Delta x)h(x + \Delta x) - g(x)h(x + \Delta x)}{\Delta x}</math>
:<math>= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{g(x)(h(x + \Delta x) - h(x)) + h(x + \Delta x)(g(x + \Delta x) - g(x))}{\Delta x}</math>
:<math>= \lim_{\Delta x \to 0} \left(g(x)\frac{h(x + \Delta x) - h(x)}{\Delta x} + h(x + \Delta x) \frac{g(x + \Delta x) - g(x)}{\Delta x}\right)</math>

여기에서 <math>h(x)</math>는 <math>x</math>에 대해 [[연속]]이므로, 다음이 성립한다.
:<math>\lim_{\Delta x \to 0} h(x + \Delta x) = h(x)</math>

따라서 다음의 결과가 나온다.
:<math>f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \left[g(x)\left(\frac{h(x + \Delta x) - h(x)}{\Delta x}\right) + h(x + \Delta x)\left(\frac{g(x + \Delta x) - g(x)}{\Delta x}\right)\right]</math>
:<math>= \left[\lim_{\Delta x \to 0} g(x)\right]\left[\lim_{\Delta x \to 0} \frac{h(x + \Delta x) - h(x)}{\Delta x}\right] + \left[\lim_{\Delta x \to 0} h(x + \Delta x)\right]\left[\lim_{\Delta x \to 0}\frac{g(x + \Delta x) - g(x)}{\Delta x}\right]</math>
:<math>= g(x)h'(x) + h(x)g'(x)</math>
== 같이 보기 ==
* [[고계도함수]]
* [[테일러급수]]
* [[연쇄법칙]]
[[분류:미분학]]