곱 (범주론) 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[범주론]]에서 '''곱'''({{llang|en|product}})은 [[곱집합]]이나 [[곱위상|곱공간]]의 개념을 일반화한 개념이다. 항등사상 이외의 사상을 포함하지 않는 [[그림 (범주론)|그림]]의 [[극한 (범주론)|극한]]이다.

== 정의 ==
범주 <math>\mathcal C</math>의 대상의 집합 <math>\{X_i\}_{i\in I}</math>를 생각하자. 그렇다면 이 집합의 '''곱'''은 다음과 같은 데이터로 이루어진다.
* 대상 <math>X\in\operatorname{ob}(\mathcal C)</math>
* 각 <math>X_i</math>에 대하여, 사상 <math>\pi_i\colon X\to X_i</math>. 이들을 '''사영 사상'''({{lang|en|projection morphism}})이라고 한다.
이들은 다음과 같은 조건을 만족하여야 한다. 임의의 대상 <math>Y\in\operatorname{ob}(\mathcal C)</math>와 사상 <math>f_i\colon Y\to X_i</math>에 대하여, 다음을 만족시키는 유일한 사상 <math>f\colon Y\to X</math>가 존재한다.
:<math>\pi_if=f_i</math>.
즉, 다음 [[그림 (범주론)|그림]]을 가환시키는 유일한 <math>f</math>가 존재한다.
:[[파일:CategoricalProduct-01.png]]
이 때, <math>X\ </math>를 '''곱'''이라 부르고 <math>\prod_{i\in I}X_i</math>로 표현한다.

=== 대각 사상 ===
{{본문|대각 사상}}
대상 <math>X</math>와 [[기수 (수학)|기수]] <math>\kappa</math>가 주어졌다고 하자. 만약 <math>\kappa</math>개의 <math>X</math>들의 곱 <math>X^{\times\kappa}</math>이 존재한다고 하자. 그렇다면, 곱의 [[보편 성질]]에 의하여 항등 사상 <math>\operatorname{id}_X</math>로부터 유도되는 사상
:<math>\operatorname{diag}_X\colon X\to X^{\times\kappa}</math>
이 존재한다. 이를 '''대각 사상'''(對角寫像, {{llang|en|diagonal morphism}})이라고 한다.

== 예 ==
각종 범주에서의 곱은 다음과 같다.
{| class="wikitable"
|-
! 범주 !! 곱
|-
| [[집합]]의 범주 <math>\operatorname{Set}</math> || [[곱집합]] <math>A\times B</math>
|-
| [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]의 범주 <math>\operatorname{Top}</math> || [[곱공간]] <math>A\times B</math>
|-
| [[군 (수학)|군]]의 범주 <math>\operatorname{Grp}</math> || [[직접곱]] <math>A\times B</math>
|-
| [[아벨 군]]의 범주 <math>\operatorname{Ab}</math> || [[직접곱]] <math>A\times B</math> (유한 직접곱은 [[직합]](=[[쌍대곱]])과 일치)
|-
| [[체 (수학)|체]] <math>K</math>에 대한 [[벡터 공간]]의 범주 <math>K-\operatorname{Vect}</math> || [[직접곱]] <math>A\times_k B</math> (유한 직접곱은 [[직합]](=쌍대곱)과 일치)
|-
| [[환 (수학)|환]] <math>R</math>에 대한 [[왼쪽 가군]]의 범주 <math>R-\operatorname{Mod}</math> || [[직접곱]] <math>A\times_R B</math> (유한 직접곱은 [[직합]](=쌍대곱)과 일치)
|-
| [[집합]]과 [[이항관계]]의 범주 <math>\operatorname{Rel}</math> || [[분리합집합]] <math>A\sqcup B</math>
|}

== 같이 보기 ==
* [[쌍대곱]]
* [[극한 (범주론)]]
* [[귀납적 극한]]

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용 | last = Adámek | first = Jiří | author2 = Horst Herrlich | author3 = George E. Strecker | year = 1990 | url = http://katmat.math.uni-bremen.de/acc/acc.pdf | title = Abstract and Concrete Categories | publisher = John Wiley & Sons | isbn = 0-471-60922-6 | access-date = 2018-04-20 | archive-date = 2015-04-21 | archive-url = https://web.archive.org/web/20150421081851/http://katmat.math.uni-bremen.de/acc/acc.pdf | url-status =  }}
* {{서적 인용 | last = Barr | first = Michael | author2 = Charles Wells | title = Category Theory for Computing Science | year = 1999 | url = http://www.math.mcgill.ca/triples/Barr-Wells-ctcs.pdf | publisher = Les Publications CRM Montreal (publication PM023) | 확인날짜 = 2018-04-20 | 보존url = https://web.archive.org/web/20160304031956/http://www.math.mcgill.ca/triples/Barr-Wells-ctcs.pdf | 보존날짜 = 2016-03-04 | url-status = dead }} Chapter 5.
* {{서적 인용| first = Saunders | last = Mac Lane | authorlink = 손더스 매클레인| year = 1998 | title = Categories for the Working Mathematician | series = Graduate Texts in Mathematics '''5''' | edition = 2nd | publisher = Springer | isbn = 0-387-98403-8}}
* Definition 2.1.1 in {{서적 인용| publisher = Cambridge University Press| isbn = 0-521-44178-1| volume = Volume 1| last = Borceux| first = Francis| title = Handbook of categorical algebra| series = Encyclopedia of mathematics and its applications 50-51, 53 [i.e. 52]| date = 1994 | page=39 }}

{{전거 통제}}

[[분류:극한 (범주론)]]