곱집합 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:Cartesian Product qtl1.svg|대체글=집합 {x, y, z}와 집합 {1, 2, 3}의 곱집합의 원소를 나열한 표|섬네일|집합 ''A'' = {''x'', ''y'', ''z''}와 ''B'' = {1, 2, 3}의 곱집합 ''A'' × ''B''.]]
[[파일:Piatnikcards.jpg|대체글=52장의 포커 패를 모양에 따라 한 줄에 13장씩 숫자가 커지는 순으로 나열한 것|섬네일|52장의 포커 패의 집합은 모양의 집합 {{nowrap|{{mset|♠, {{color|#c00000|♥}}, ♣, {{color|#c00000|♦}}}}}}과 숫자의 집합 {{nowrap|{{mset|2, ..., 10, J, Q, K, A}}}}의 곱집합이라 생각할 수 있다.]]

[[집합론]]에서 '''곱집합'''(곱集合, {{llang|en|product set , product}}) 또는 '''데카르트 곱'''(Descartes곱, {{llang|en|Cartesian product|카티지언 프로덕트}})은 각 [[집합]]의 원소를 각 성분으로 하는 [[튜플]]들의 집합이다. 예를 들어, 두 집합 <math>A,B</math>의 곱집합 <math>A\times B</math>는 <math>\{(a,b)|a\in A,b\in B\}</math>이다. 곱집합은 집합의 다양체에서의 [[직접곱]]이며, 집합의 [[범주 (수학)|범주]]에서의 [[곱 (범주론)|곱]]이다.

== 정의 ==
[[첨수족]] <math>\{A_i\}_{i\in I}</math>의 곱집합 <math>\textstyle\prod_{i\in I}A_i</math>는 다음과 같다.
:<math>\prod_{i\in I}A_i=\{(a_i)_{i\in I}|a_i\in A_i\}</math>
특히, 유한 개의 집합 <math>A_1,A_2,\dotsc,A_n</math>의 곱집합 <math>A_1\times A_2\times\cdots\times A_n</math>은 다음과 같다.
:<math>A_1\times A_2\times\cdots\times A_n=\{(a_1,a_2,\dotsc,a_n)|a_i\in A_i\}</math>
집합 <math>A,I</math>에 대하여, <math>A</math>의 <math>I</math>번 곱집합 <math>A^I</math>는 다음과 같다.
:<math>A^I=\{(a_i)_{i\in I}|a_i\in A\}</math>
특히, 집합 <math>A</math>와 [[순서수]] <math>\alpha</math>에 대하여, <math>A</math>의 <math>\alpha</math>번 곱집합 <math>A^{\times\alpha}</math>는 다음과 같다.
:<math>A^{\times\alpha}=\{(a_\beta)_{\beta<\alpha}|a_\beta\in A\}</math>
특히, 집합 <math>A</math> 및 음이 아닌 정수 <math>n</math>에 대하여, <math>A</math>의 <math>n</math>번 곱집합 <math>A^{\times n}</math>은 다음과 같다.
:<math>A^{\times n}=\{(a_1,a_2,\dotsc,a_n)|a_i\in A\}</math>

== 성질 ==
[[파일:CartDistr svg.svg|대체글=y축에 A = [1, 4]를 표시하고, x축에 B = [2, 5], C = [4, 7]을 표시한 뒤, 데카르트 좌표 평면에 A와 B ∪ C 및 B ∩ C 및 B \ C의 곱집합을 표시한 것|섬네일|분배 법칙을 설명한 그림. 여기서 ''A'' = [1, 4], ''B'' = [2, 5], ''C'' = [4, 7].|223x223픽셀]]
[[파일:CartUnion svg.svg|대체글=x축에 A = [2, 5], B = [3, 7]을 표시하고, y축에 C = [1, 3], D = [2, 4]를 표시한 뒤, 데카르트 좌표 평면에 (A ∪ B) × (C ∪ D), (A × C) ∪ (B × D)를 표시한 것|섬네일|(''A'' ∪ ''B'') × (''C'' ∪ ''D'') ⊋  (''A'' × ''C'') ∪ (''B'' × ''D''). 여기서 ''A'' = [2, 5], ''B'' = [3, 7], ''C'' = [1, 3], ''D'' = [2, 4].]]
[[파일:CartInts svg.svg|대체글=x축에 A = [2, 5], B = [3, 7]을 표시하고, y축에 C = [1, 3], D = [2, 4]를 표시한 뒤, 데카르트 좌표 평면에 (A ∩ B) × (C ∩ D), (A × C) ∩ (B × D)를 표시한 것|섬네일|(''A'' ∩ ''B'') × (''C'' ∩ ''D'') =  (''A'' × ''C'') ∩ (''B'' × ''D''). 여기서 ''A'' = [2, 5], ''B'' = [3, 7], ''C'' = [1, 3], ''D'' = [2, 4].]]

* ([[기수 (수학)|기수]]의 곱의 정의) <math>|A\times B|=|A||B|</math>
* ([[기수 (수학)|기수]]의 거듭제곱의 정의) <math>|A^B|=|A|^{|B|}</math>
* <math>\varnothing\times A=A\times\varnothing=\varnothing</math>
* ([[교환 법칙]]의 실패) <math>A\times B\ne B\times A\qquad(A,B\ne\varnothing,\;A\ne B)</math>
** 그러나, 이 둘 사이에는 자연스러운 전단사 함수 <math>(a,b)\mapsto(b,a)</math>가 존재한다.
* ([[결합 법칙]]의 실패) <math>(A\times B)\times C\ne A\times(B\times C)\qquad(A,B,C\ne\varnothing)</math>
** 그러나, 이 둘 사이에는 자연스러운 전단사 함수 <math>((a,b),c)\mapsto(a,(b,c))</math>가 존재한다.
* ([[분배 법칙]]) <math>A\times (B\cup C)=(A\times B)\cup(A\times C)</math>
* ([[분배 법칙]]) <math>A\times (B\cap C)=(A\times B)\cap(A\times C)</math>
* ([[분배 법칙]]) <math>A\times (B\setminus C)=(A\times B)\setminus(A\times C)</math>
* <math>\prod_{i\in I}\bigcup_{j\in J}A_{ij}\supseteq\bigcup_{j\in J}\prod_{i\in I}A_{ij}</math>
* <math>\prod_{i\in I}\bigcap_{j\in J}A_{ij}=\bigcap_{j\in J}\prod_{i\in I}A_{ij}</math>
* 다음 두 조건이 서로 동치이다. (무한 개의 집합의 곱집합의 경우 [[선택 공리]]가 필요하다.)
** <math>\prod_{i\in I}A_i\subseteq\prod_{i\in I}B_i</math>
** <math>A_i=\varnothing</math>인 <math>i\in I</math>가 존재하거나, 임의의 <math>i\in I</math>에 대하여 <math>A_i\subseteq B_i</math>이다.
* 다음 두 조건이 서로 동치이다. (무한 개의 집합의 곱집합의 경우 [[선택 공리]]가 필요하다.)
** <math>\prod_{i\in I}A_i=\varnothing</math>
** <math>A_i=\varnothing</math>인 <math>i\in I</math>가 존재한다.
* 곱집합과 이를 이루는 각 집합 사이에 다음과 같은 함수를 정의할 수 있으며, 이를 사영 함수라고 한다.
*:<math>\pi_i\colon\prod_{i\in I}A_i\to A</math>
*:<math>\pi_i\colon(a_i)_{i\in I}\mapsto a_i</math>
* ([[보편 성질]]) 임의의 첨수된 함수족 <math>\{f_i\colon B\to A_i\}_{i\in I}</math>에 대하여, <math>f_i=\pi_i\circ f</math> (<math>i\in I</math>)를 만족시키는 유일한 함수 <math>f\colon B\to\prod_{i\in I}A_i</math>가 존재한다.

== 예 ==
[[파일:Cartesian-coordinate-system.svg|대체글=|섬네일|[[데카르트 좌표 평면]] <math>\mathbb R^2</math>은 [[실수선]] <math>\mathbb R</math>과 자기 자신의 곱집합이다.]]
* <math>\{1,2\}\times\{3,4,5\}=\{(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5)\}</math>
* <math>\mathbb R^2=\mathbb R\times\mathbb R=\{(x,y)|x,y\in\mathbb R\}</math>
* <math>\mathbb R^3=\mathbb R\times\mathbb R\times\mathbb R=\{(x,y,z)|x,y,z\in\mathbb R\}</math>

== 역사 ==
[[르네 데카르트]]의 이름을 땄다.

== 같이 보기 ==
* [[멱집합 공리]]
* [[직접곱]]
* [[관계 (수학)]]
* [[Join (SQL)]]
* [[전순서 집합]]
* [[외적]]
* [[곱 (범주론)]]
* [[곱위상]]

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=CartesianProduct|title=Cartesian product}}
* {{nlab|id=cartesian product|title=Cartesian product}}
* {{플래닛매스|urlname=cartesianproduct|title=Cartesian product}}
* {{플래닛매스|urlname=generalizedcartesianproduct|title=Generalized Cartesian product}}
* {{proofwiki|id=Definition:Cartesian Product|제목=Definition:Cartesian product}}

{{집합론}}

[[분류:집합론의 기본 개념]]
[[분류:이항연산]]
[[분류:선택 공리]]