곱위상 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[일반위상수학]]에서 '''곱위상'''(-位相, {{llang|en|product topology}})은 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]들의 [[곱집합]]에 표준적으로 부여되는 [[위상 공간 (수학)|위상]]이다.

== 정의 ==
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]]들의 [[집합]]
:<math>\{X_i\}_{i\in I}</math>
가 주어졌다고 하자. 그렇다면 [[곱집합]] <math>\prod_{i\in I}X_i</math> 위에 다음과 같은 위상들을 부여할 수 있다.
* '''곱위상'''. 이는 위상 공간의 [[범주 (수학)|범주]] <math>\operatorname{Top}</math>에서의 [[곱 (범주론)|범주론적 곱]]이다.
* '''상자 위상'''. 이는 곱위상보다 더 섬세한 위상이다. <math>I</math>가 [[유한 집합]]이라면 이는 곱위상과 일치한다.
* 만약 <math>X_i</math>에 [[거리 함수]]가 주어졌다면, '''균등 위상'''을 정의할 수 있다.
* <math>\operatorname{Top}</math>의 [[충만한 부분 범주]]에서의 [[곱 (범주론)|범주론적 곱]]. 이는 곱위상보다 더 섬세하며, <math>I</math>가 [[유한 집합]]일 경우에도 곱위상과 다를 수 있다.

=== 곱위상 ===
'''곱위상'''(-位相, {{llang|en|product topology}}) 또는 '''티호노프 위상'''(Тихонов位相, {{llang|en|Tychonoff topology}})은 사영 함수
:<math>\operatorname{proj}_i\colon\prod_{i\in I}X_i\to X_i</math>
의 집합에 대한 [[시작 위상]]이다. 즉, 이 함수들을 [[연속 함수]]로 만드는 가장 [[위상의 비교|엉성한]] [[위상 공간 (수학)|위상]]이다.

곱위상의 한 [[기저 (위상수학)|기저]]는 다음과 같다.
:<math>\mathcal B=\left\{\prod_{i\in I}U_i\colon U_i\in\mathcal T(X_i),\;\aleph_0>|\{i\in I\colon U_i\ne X_i\}|\right\}</math>
여기서 <math>\mathcal T(X_i)</math>는 <math>X_i</math>의 [[열린집합]]들의 집합이다. 즉, <math>\mathcal B</math>의 원소는 각 <math>X_i</math>의 [[열린집합]]들의 곱집합 가운데, 오직 유한 개만이 <math>X_i</math> 전체와 다른 것이다.

=== 상자 위상 ===
위 기저에서 <math>\aleph_0</math> ([[가산 무한|가산]] [[무한 기수]]) 대신 임의의 [[무한 기수]] <math>\kappa</math>를 사용하여 위상의 [[기저 (위상수학)|기저]]
:<math>\mathcal B_\kappa=\left\{\prod_{i\in I}U_i\colon U_i\in\mathcal T(X_i),\;\kappa>|\{i\in I\colon U_i\ne X_i\}|\right\}</math>
를 정의할 수 있으며, (<math>X_i</math>들이 [[비이산 공간]]이 아니라면) 각 [[무한 기수]] <math>\kappa\le|I|</math>에 대하여 이는 서로 다른 위상을 정의한다. 만약 이 기수가 충분히 클 때 (즉, <math>\kappa>|I|</math>일 때), 추가 조건은 자명해진다.
:<math>\mathcal B_\kappa=\mathcal B_{\text{box}}=\left\{\prod_{i\in I}U_i\colon U_i\in\mathcal T(X_i)\right\} \qquad(\kappa>|I|)</math>
이 기저로 생성되는 위상을 '''상자 위상'''(箱子位相, {{llang|en|box topology}})이라고 한다.<ref name="Munkres">{{서적 인용
|url=http://www.pearsonhighered.com/bookseller/product/Topology/9780131816299.page
|이름=James R.
|성=Munkres
|저자링크=제임스 멍크레스
|제목=Topology
|언어=en
|판=2
|출판사=Prentice Hall
|연도=2000
|isbn=978-0-13-181629-9
|zbl=0951.54001
|mr=0464128
}}</ref>{{rp|114}}

따라서, (<math>X_i</math>들이 모두 [[비이산 공간]]이 아니라면) 각 무한 기수 <math>\aleph_0\le\kappa\le|I|^{+}</math>에 대하여, <math>\kappa</math>가 클 수록 더 섬세한 위상들을 얻는다.
:<math>\mathcal B=\mathcal B_{\aleph_0}\subsetneq\mathcal B_{\aleph_1}\subsetneq\cdots\subsetneq\mathcal B_{|I|}\subsetneq\mathcal B_{|I|^{+}}=\mathcal B_{\text{box}}</math>
상자 위상을 포함한 <math>\mathcal B_\kappa</math>-위상은 만약 <math>I</math>가 [[유한 집합]]이라면 곱위상과 일치한다.

=== 균등 위상 ===
[[거리 공간]]들의 집합 <math>\{(X_i,d_i)\}_{i\in I}</math>이 주어졌다고 하자. 그렇다면, [[곱집합]] <math>\textstyle\prod_iX_i</math> 위에 다음과 같이 '''균등 거리 함수'''({{llang|en|uniform metric}}) <math>d_{\text{unif}}</math>를 줄 수 있다.
:<math>d_{\text{unif}}(x,y)=\min\{1,\sup_{i\in I}d_i(x,y)\}</math>
그렇다면 <math>(\textstyle\prod_iX_i,d_{\text{unif}})</math>는 [[거리 공간]]을 이루며, 이에 의하여 유도되는 위상을 '''균등 위상'''({{llang|en|uniform topology}})이라고 한다.

균등 위상은 일반적으로 곱위상보다 더 섬세하다.<ref name="Munkres"/>{{rp|Theorem 20.4}}

=== 콤팩트 생성 곱위상 ===
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]]의 [[범주 (수학)|범주]] <math>\operatorname{Top}</math>의 [[완비 범주|완비]] [[쌍대 반사 부분 범주]] <math>I\colon\mathcal C\hookrightarrow\operatorname{Top}</math>가 주어졌고, <math>\mathcal C</math>가 [[한원소 공간]]을 포함한다고 하자.

쌍대 반사 부분 범주라는 것은 포함 함자 <math>I</math>가 [[충실충만한 함자]]이며 [[오른쪽 수반 함자]] <math>R\colon\operatorname{Top}\to\mathcal C</math>를 갖는다는 것이다. [[수반 함자]]의 일반적 성질에 의하여 <math>I</math>는 모든 [[쌍대극한]]을 보존하며, 반대로 <math>R</math>는 모든 [[극한 (범주론)|극한]]을 보존하게 된다. 또한, [[한원소 공간]] <math>\{\bullet\}</math>은 [[구체적 범주]]의 망각 함자 <math>\operatorname{Top}\to\operatorname{Set}</math>를 [[표현 가능 함자|표현]]하므로, 망각 함자 <math>\mathcal C\to\operatorname{Top}\to\operatorname{Set}</math> 역시 극한을 보존하게 된다.

위상 공간의 집합 <math>\{X_i\}_{i\in I}</math>가 주어졌다고 하고, 이들이 모두 <math>\mathcal C</math>의 원소들로 구성되었다고 하자. 그렇다면, 이들의 [[곱 (범주론)|곱]]을 <math>\mathcal C</math> 속에서 취할 수 있다. 이를
:<math>\prod_{i\in I}^{\mathcal C}X_i=R\left(\prod_{i\in I}X_i\right)</math>
로 표기하자. 망각 함자 <math>\mathcal C\to\operatorname{Set}</math>가 극한을 보존하므로, 이는 [[집합]]으로서 단순히 [[곱집합]]이다. 그러나 <math>I</math>가 극한을 보존하지 않는다면, 이는 곱위상(즉, <math>\operatorname{Top}</math>에서의 [[곱 (범주론)|곱]])과 다를 수 있다.

보다 일반적으로, (<math>\mathcal C</math>에 속하지 않을 수 있는) 임의의 위상 공간들의 집합 <math>\{X_i\}_{i\in I}</math>의 '''<math>\mathcal C</math>-곱공간'''을
:<math>R\left(\prod_{i\in I}X_i\right)=\prod_{i\in I}^{\mathcal C}R(X_i)</math>
로 정의할 수 있다.

이 가운데 대표적인 것은 [[콤팩트 생성 공간]]의 범주 <math>\operatorname{CGTop}</math>이다. 모든 위상 공간의 범주와 달리 이는 [[데카르트 닫힌 범주]]를 이루어, [[대수적 위상수학]]을 간편하게 전개할 수 있다. 이는 <math>\operatorname{Top}</math>의 [[쌍대 반사 부분 범주]]를 이루며, 그 쌍대 반사 함자를 '''콤팩트 생성화''' <math>k\colon\operatorname{Top}\to\operatorname{CGTop}</math>라고 한다. 이 함자는 유한 극한도 보존하지 않으며, 특히 콤팩트 생성 곱위상 <math>k(X\times Y)</math>는 일반적으로 곱위상 <math>X\times Y</math>보다 더 섬세하다.

[[대수적 위상수학]]에서는 곱위상 <math>X\times Y</math>보다 콤팩트 생성 곱공간 <math>k(X\times Y)</math>이 더 많이 쓰인다. 예를 들어, [[CW 복합체]]의 곱은 (<math>\operatorname{Top}</math>) 곱공간이 아니라 콤팩트 생성 곱공간이다.

== 성질 ==
곱위상과 상자 위상은 다음과 같은 성질들에 대하여 닫혀 있다. (즉, 콤팩트 공간들의 집합의 곱공간은 콤팩트 공간이지만, 콤팩트 공간의 집합들의 상자 곱공간은 콤팩트 공간이 아닐 수 있다.)
{| class=wikitable
! 성질 !! 곱위상 !! 상자 위상
|-
! [[콤팩트 공간]]
| 예 ([[티호노프 정리]]) || 아니오 (반례: <math>\mathbb R^{\aleph_0}</math>)
|-
! [[연결 공간]]
| 예 || 아니오 (반례: <math>\mathbb R^{\aleph_0}</math>)
|-
! [[경로 연결 공간]]
| 예 || 아니오 (반례: <math>\mathbb R^{\aleph_0}</math>)
|-
! [[콜모고로프 공간]]
| 예 || 예 (콜모고로프 조건은 더 섬세한 위상에 대하여 성립)
|-
! [[T1 공간]]
| 예 || 예 (T1 조건은 더 섬세한 위상에 대하여 성립)
|-
! [[하우스도르프 공간]]
| 예 || 예<ref name="Williams"/>{{rp|171, Proposition 1.2(iii)}} (하우스도르프 조건은 더 섬세한 위상에 대하여 성립)
|-
! [[정칙 공간]]
| 예 || 예<ref name="Williams">{{서적 인용|날짜=1984|이름=Scott W.|성=Williams|제목=Handbook of set-theoretic topology|url=https://archive.org/details/handbookofsetthe0000unse_l5c2|editor1-first=Kenneth|editor1-last=Kunen|editor1-link=케네스 쿠넌|editor2-first=Jerry E.|editor2-last=Vaughan|장=Chapter 4. Box products|doi=10.1016/B978-0-444-86580-9.50007-0|isbn=978-0-444-86580-9|출판사=North-Holland|언어=en}}</ref>{{rp|171, Proposition 1.2(iii)}}
|-
! [[완비 정칙 공간]]
| 예 || 예<ref name="Williams"/>{{rp|171, Proposition 1.2(iii)}}
|-
! [[정규 공간]]
| 아니오 (반례: [[조르겐프라이 직선]]의 제곱) || 아니오 (반례: [[조르겐프라이 직선]]의 제곱)
|-
! [[이산 공간]]
| 아니오 || 예
|-
! [[비이산 공간]]
| 예 || 예
|}
일반적으로, [[분해 가능]] [[제1 가산 공간]]의 가산 개 [[곱공간]]은 [[분해 가능]] [[제1 가산 공간]]이다. 그러나 이는 상자 위상에 대하여 성립하지 않는다.

== 예 ==
[[가산 무한]] 개의 [[실수선]] <math>\mathbb R</math>들의 [[곱집합]] <math>\mathbb R^{\aleph_0}</math>에서 상자 위상을 부여하자.<ref name="countexamples">{{서적 인용 | last=Steen | first=Lynn Arthur | 이름2=J. Arthur, Jr.|성2=Seebach |제목=Counterexamples in topology | 날짜=1978 | publisher=Springer | isbn= 978-0-387-90312-5 | mr=507446 | zbl = 0386.54001 | 판=2 | doi = 10.1007/978-1-4612-6290-9 | 언어=en}}</ref>{{rp|Counterexample 109}}
이 위상 공간은 다음 성질들을 만족시킨다.
* [[콤팩트 공간]]이 아니다.
* [[연결 공간]]이 아니다.
* [[제1 가산 공간]]이 아니다.
* [[분해 가능 공간]]이 아니다.
* 이는 [[완비 정칙 공간]]이다.
* 만약 [[연속체 가설]]이 참이라면 [[파라콤팩트 공간]]이다.

== 역사 ==
상자 위상은 하인리히 프란츠 프리드리히 티체({{llang|de|Heinrich Franz Friedrich Tietze}}, 1880~1964)가 1923년에 도입하였다.<ref>{{서적 인용|제목=Über Analysis situs|이름=Heinrich|성=Tietze|날짜=1923|출판사=Im verlag des Mathematischen Seminars der Hamburgischen Universität|총서=Hamburger mathematische Einzelschriften|권=2|쪽=27–70|jfm=49.0398.01|url=http://name.umdl.umich.edu/AHB1723.0002.001|언어=de}}</ref><ref name="Willard"/>{{rp|300, Historical Notes §8}}

곱위상은 [[안드레이 티호노프 (수학자)|안드레이 티호노프]]가 1930년에 도입하였다.<ref>{{저널 인용|제목=Über die topologische Erweiterung von Räumen|이름=A.|성=Tychonoff|저자링크=안드레이 티호노프 (수학자)|저널=Mathematische Annalen|날짜=1930|권=102|호=1|쪽=544–561|url=http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002273799|doi=10.1007/BF01782364|issn=0025-5831|언어=de}}</ref><ref name="Willard">{{서적 인용 | last=Willard | first=Stephen | title=General Topology | url=https://archive.org/details/generaltopology00will_0 | publisher=Addison-Wesley | isbn=978-0-201-08707-9 | mr=0264581 | 날짜=1970|언어=en}}</ref>{{rp|300, Historical Notes §8}}

[[콤팩트 생성 공간|콤팩트 생성]] 곱은 에드윈 헨리 스패니어({{llang|en|Edwin Henry Spanier}})가 1959년에 "약한 위상"({{llang|en|weak topology}})이라는 이름으로 도입하였다.<ref>{{저널 인용|제목=Infinite symmetric products, function spaces, and duality|이름=E.|성=Spanier|jstor=1970099|doi=10.2307/1970099|권=69|호=1|날짜=1959-01|쪽=142–198|언어=en}}</ref> 스패니어는 <math>\langle X\times Y\rangle</math>라는 기호를 사용하였다.

== 각주 ==
{{각주}}
* {{저널 인용|날짜=1963|제목=Ten topologies for ''X''×''Y''|이름=Ronald|성=Brown|권=14|호=1|쪽=303–319|저널=The Quarterly Journal of Mathematics|doi= 10.1093/qmath/14.1.303|언어=en}}
* {{저널 인용|날짜=1964|제목=Box topologies|성=Knight|이름=C. J.|저널=The Quarterly Journal of Mathematics|권=15|호=1|쪽=41–54|doi=  10.1093/qmath/15.1.41|언어=en}}
* {{서적 인용|장=Covering and separation properties of box products|doi=10.1016/B978-0-12-584960-9.50010-9|이름=Eric K.|성=van Douwen|제목=Surveys in General Topology|url=https://archive.org/details/surveysingeneral0000unse|날짜=1980|쪽=[https://archive.org/details/surveysingeneral0000unse/page/n72 55]–129|editor1-first=George M. |editor1-last= Reed |출판사=Academic Press|isbn=978-0-12-584960-9|언어=en}}
* {{서적 인용|장=Product spaces|doi=10.1016/B978-0-12-584960-9.50010-9|이름=Teodor C. |성=Przymusiński|제목=Surveys in General Topology|url=https://archive.org/details/surveysingeneral0000unse|날짜=1980|쪽=[https://archive.org/details/surveysingeneral0000unse/page/n416 399]–429|editor1-first=George M. |editor1-last= Reed |출판사=Academic Press|isbn=978-0-12-584960-9|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Topological product}}
* {{nlab|id=Tychonoff product}}
* {{웹 인용|url=http://topospaces.subwiki.org/wiki/Box_topology|제목=Box topology|웹사이트=Topospaces|언어=en}}
** {{웹 인용|url=http://topospaces.subwiki.org/wiki/Box_product-closed_property_of_topological_spaces|제목=Box product-closed property of topological spaces|웹사이트=Topospaces|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://topospaces.subwiki.org/wiki/Product_topology|제목=Product topology|웹사이트=Topospaces|언어=en}}
** {{웹 인용|url=http://topospaces.subwiki.org/wiki/Product-closed_property_of_topological_spaces|제목=Product-closed property of topological spaces|웹사이트=Topospaces|언어=en}}
** {{웹 인용|url=http://topospaces.subwiki.org/wiki/Regularity_is_product-closed|제목=Regularity is product-closed|웹사이트=Topospaces|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Definition:Box_Topology|제목=Definition: box topology|웹사이트=ProofWiki|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Basis_for_Box_Topology|제목=Basis for box topology|웹사이트=ProofWiki|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Definition:Box_Topology|제목=Definition: Tychonoff topology|웹사이트=ProofWiki|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Box_Topology_on_Finite_Product_Space_is_Tychonoff_Topology|제목=Box topology on finite product space is Tychonoff topology|웹사이트=ProofWiki|언어=en|확인날짜=2016-02-06|archive-date=2016-02-06|archive-url=https://web.archive.org/web/20160206135009/https://proofwiki.org/wiki/Box_Topology_on_Finite_Product_Space_is_Tychonoff_Topology}}

[[분류:일반위상수학]]
[[분류:이항연산]]