골롬-딕맨 상수 문서 원본 보기

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'''골롬-딕맨 상수'''(Golomb-Dickman constant) 또는 '''골롬 상수''' <math>\; \lambda \;</math>

[[수학]]에서 골롬-딕맨 상수(Golomb-Dickman constant)는 무작위 [[순열]] (랜덤 순열)이론과 [[정수론|수 이론]]에서 각각 보여진다.이것은  정수들의 확장에서 [[소수 (수론)|소수]]들간의 출현길이와  무작위한  랜덤 순열을 가장 크게 확장했을 때의 분포가  일치하는 값을 보이고 있다는 사실을 보여주는 놀라운 상수들간의 관계이다.
딕맨(Dickman,1930)에 의해 가장 큰 정수들 집합<math>\{1,....,n \}</math>중에서 균일하게 선택된 임의의 정수의 소수(prime number) 요소<math> P_1 </math>에서,
<math> E\left({{log P_1}\over{log n}}\right) \to 0.62432</math> [[딕맨 함수]]로 알려진 이 상수는 가장 큰 소수의 자릿수로 예상되는 수에서 해석된다.
이러한 "가장 크다고 여겨질수있는 무작위 정수의 자릿수에 대한 비율문제" 이후로,  골롬(Golomb,1964)이  무작위 순열에서 가장 긴 주기의 길이 <math>L_1</math>을 연구했을때, <math>  S_n</math>에서 <math> E\left({{L_1}\over n}\right)  \to  0.62432</math>를 발견했다.
여기서 딕맨의 상수가  골롬이 발견한 상수와 동일함에도  이 두 상수의 상관관계가 곧 바로 강하게 연관되지는 못했다.<ref>https://webcache.googleusercontent.com/search?q=cache:8MnJRLcEerMJ:https://stacks.stanford.edu/file/druid:cw152bn7919/James-Zhao-PhD-Thesis-augmented.pdf+&cd=4&hl=ko&ct=clnk&gl=kr&client=firefox-b</ref>

그러나  이들의 관계가 확률상의 [[푸아송 분포]]와 [[정규 분포]]
:<math>\lim_{n\to \infty} P(\alpha_1 = 0 )= {1 \over e}</math>
:<math>\lim_{n\to \infty} P(\alpha_j = k )= {1 \over k!}e^{-1\over j} j^{-k}</math>
:<math>\lim_{n\to \infty} P \left( \left( \sum_{j=1}^{\infty} \alpha_j - \ln n \right) (\ln n)^{-1\over2} \le x \right)= \Phi (x)</math>
로 약하게 연관되어 설명되고나서(Shepp and Lloyd 1966, Wilf 1990),
:<math> F (x) = \lim_{n \to \infty} P(x,n) = \begin{Bmatrix} 1 &  if \; x\ge 1     \\
   \int_{0}^{x}  F \left( {{t}\over{1-t}} \right) {{dt}\over {t}}    & if \; 0 \le x  < 1          \end{Bmatrix} </math>에서
:딕맨 상수<ref>CRC Concise Encyclopedia of Mathematics, Second Edition ( Eric W. Weisstein) ,p1211 Golomb-Dickman Constant(CRC Press)</ref>
:<math>\mu = \lim_{n\to \infty} \left\langle  x  \right\rangle</math>
:<math>\;\ = \lim_{n\to \infty} \left\langle  {{\ln P} \over {\ln n}}  \right\rangle</math>
:<math>\;\; = \int_{0}^{1} x {{d \; F}\over{d \; x}} dx</math>
:<math>\;\; = \int_{0}^{1}  F \left( {{1}\over{1-t}} \right) dt</math>
:<math>\;\; = 0.62432999...</math>는 골롬 상수<math> \lambda</math>가 <math> f(x)=1 \;\;(1\le x\le 2) \;\;, {{d f}\over{d x}} = -{{f(x-1)}\over{x-1}}</math>에서,
:<math> \lambda = \int_{1}^{\infty} {{f(x)}\over{x^2}}dx  \;\;, f(x)=1 \;\;(x > 2) </math>
:<math>\lambda =  \int_{0}^{\infty} exp\left( -x -\left(\int_{x}^{\infty}{{e^{-y}}\over{y}} dy\right)\right)</math>
:<math>\lambda =  \int_{0}^{1} exp\left( \int_{0}^{x}{{{dy}}\over{\ln y}} \right) dx </math>
: <math> \lambda = 0.62432 99885 43550 87099 29363 83100 83724 \dots (OEIS A084945)</math>

로  쉐프 와 로이드(Shepp and Lloyd , 1966)가 유도됨을 보였다.<ref>Mathematical Constants ( Steven R. Finch) ,p285  Golomb-Dickman constant(Cambridge University Press)</ref>

이것은 [[구간]] <math>\; x \in (0,1)</math>에서,
:<math>\mu = \lim_{n\to \infty} \left\langle  x  \right\rangle = \lim_{n\to \infty} \left\langle  {{\ln P} \over {\ln n}}  \right\rangle= \int_{0}^{1} x {{d \; F}\over{d \; x}} dx = \int_{0}^{1}  F \left( {{1}\over{1-t}} \right) dt  =\lambda =  \int_{0}^{1} exp\left( \int_{0}^{x}{{{dy}}\over{\ln y}} \right) dx </math>이다.

<!-- :<math>\lim_{N\to \infty} P(f(n)\le n^x)= \rho \left( {1 \over x}\right)  \;\; ,\;\; f(n) = n^x \;\;,\;\; 0 <x \le 1 \;\;,\;\; 1 n  N</math>에서,
: <math> \mu = \lim_{k\to \infty} E(x) =\lim_{N \ \to \infty} E\left( {{\ln P}\over{\ln n}}  \right) =\int_{0}^{1} x d\rho\left({1\over x}\right) =1- \int_{1}^{\infty} \left({{\rho(y)}\over y^2}\right) dy = \lambda</math>
-->
[[확률 이론]]에서, <math> \lambda n </math>은 [[이산균등분포 | 균일 분포]]에서 가장 긴주기의 [[기대값 | 예상]] 크기 <math>n</math>세트의 랜덤순열이다.

[[정수론|수 이론]]에서 골롬-딕맨 상수는 정수의 가장 큰 [[소수 (수론)|소수]] 인자의 평균 크기와 관련되어 나타난다.
: <math> \lambda = \lim_ {n \ \to \infty} \frac {a_n} {n} </math>

:<math>\lambda = \lim_{n\to\infty} {1\over n} \sum_{k=2}^n {{\log(P_1(k))}\over{\log(k)} }</math>

여기서 <math> P_1 (k) </math>는 <math>k </math>의 가장 큰 소수 인자이다.
따라서 <math>k</math>가 <math>d</math>자릿수 인 경우, <math> \lambda d </math>는 <math>k</math>의 최대 [[소수 (수론)|소수]] 자릿수의 평균 자릿수이다.

==커누스의 <math>\beta</math> 와 <math>B</math>에 대한 추측==
커누스(Knuth 1981)의 임의의 상수 <math>\beta</math> 와 <math>B</math>에 대한 추측
:<math>\lim_{n \to \infty} n^\beta \left( \left\langle M(x)  \right\rangle -\gamma n  -{1\over2} \gamma \right) = B</math>
이 있었고,
고든(Gourdon 1986)이 아래과 같이 증명하였다.
:<math>j = e^{{2\pi i}\over{3}}</math>에서,
:<math> \left\langle M(\alpha) \right\rangle = \lambda \left(n+{1 \over 2}\right) - {{e^{\gamma}}\over{24n}}+{{{1\over 48}}e^{\gamma} -{1 \over 8}(-1)^n \over{n^2}}+{{{17 \over 3840 }e^{\gamma}+{1\over 8}(-1)^n + {1 \over 6}j^{1+2n}+{{1\over 6}j^{2+n}}}\over{n^3}}</math>
:<math> E(M(\alpha))= \lambda n +{\lambda \over 2}-{e^{\gamma}\over24}{1\over n}+\left( {{e^{\gamma}} \over 48}-{{(-1)^n} \over 8} \right){1 \over n^2} + \left(   {{17 e^{\gamma}} \over 3840}+{(-1)^n \over 8}+{{e^{2(2n+1)\pi i}\over 3} \over6}+ {{e^{2(n+2)\pi i}\over 3} \over6}  \right) {1\over n^3}+ O\left({1\over n^4} \right)</math>

:<math>  M(\alpha) = \underset{j}{max}  \{ j:\alpha_{j} > 0 \}</math>
:<math>\gamma</math>[[오일러-마스케로니 상수]]
<!-- :<math> \left\langle {} \right\rangle </math>[[튜플]], [[평균]], [[순환군]] -->

==관련 상수 및 함수==
*지수 적분
:<math>\lambda = \int_0^\infty e^{-t - E_1(t)} dt </math>
:<math>E_1(t)</math>  [[지수 적분 함수]]
*딕맨 함수
:<math>\lambda = \int_0^\infty \frac{\rho(t)}{t+2} dt </math>
:<math>\lambda = \int_0^\infty \frac{\rho(t)}{(t+1)^2} dt </math>
:<math>\rho(t)</math>  [[딕맨 함수|딕맨 함수(Dickman–de Bruijn function)]]

*조화 수열
:<math>  \left\langle \sum_{j=1}^{\infty} \alpha_j \right\rangle=  \sum_{i=1}^{n}{1\over i}</math>
:<math>  \quad = \ln n + \gamma + O \left( {1\over n} \right)</math>
:<math> \quad =H_n</math>
:<math> H_n</math>는 [[조화급수|조화수]] <math>,\;\; big \; O</math> [[점근 표기법]]

== 같이 보기 ==
* [[수학 상수]]
* [[구간]]
* [[푸아송 분포]]
* [[완전순열]]
<!-- *[[랜덤순열|랜덤 순열(무작위 순열)]]  -->
<!-- 
* [[바닥 함수와 천장 함수]]
* [[포흐하머 기호]]
* [[상한과 하한]]
-->

== 각주 ==
{{각주}}

==참고==
* {{매스월드| id=Golomb-DickmanConstant | title=Golomb-Dickman Constant}}
* "Sloane's A084945". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, OEIS Foundation(oeis.org)

[[분류:수학 상수]]
[[분류:특수 함수]]