곡선 비틀림 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:Torus-Knot uebereinander animated.gif|thumb|right|공간 곡선(적색 곡선)의 비틀림(청색 그래프)과 곡률(녹색 그래프) 및 단위 접벡터 (황색 화살표) · 단위 법벡터 (녹색 화살표) · 단위 접벡터와 단위 법벡터의 외적 (청색 화살표)]]
[[미분기하학]]에서 '''곡선 비틀림'''({{llang|en|torsion}})은 3차원 공간 속의 곡선에 대하여 대응되는 스칼라 값 함수이며, 공간 곡선이 곡률로서 정의되는 평면으로부터 얼마나 빨리 “비틀려” 이탈하는지를 측정하는 값이다.

== 정의 ==
[[유클리드 공간]] <math>\mathbb R^3</math>의 곡선
:<math>\mathbf r\colon \mathbb R\to\mathbb R^3</math>
:<math>\mathbf r\colon t\mapsto \mathbf r(t)</math>
:<math>\mathbf r = \mathbf r_0 + \int_0^t \mathbf v(t)\,\mathrm dt</math>
의 '''비틀림'''
:<math>\tau\colon\mathbb R\to\mathbb R</math>
:<math>\tau\colon t\mapsto\tau(t)</math>
은 다음과 같다.
:<math>\tau = \frac{\det \left( \mathbf v,\dot{\mathbf v},\ddot{\mathbf v} \right)}{\left\|\mathbf v \times \dot{\mathbf v} \right\|^2}
= \frac{(\mathbf v\times\dot{\mathbf v})
 \cdot\ddot{\mathbf v}}{\left\|\mathbf v \times \dot{\mathbf v} \right\|^2}</math>
여기서 윗점은 시간에 대한 미분 <math>\mathrm d/\mathrm dt</math>이다.

보다 구체적으로,
:<math>\mathbf r(t) = (x(t), y(t), z(t))</math>
일 경우, 그 비틀림은 다음과 같다.
:<math>\tau = \frac{z'''(x'y''-y'x'') + z''(x'''y'-x'y''') + z'(x''y'''-x'''y'')}{(x'^2+y'^2+z'^2)(x''^2+y''^2+z''^2)}.</math>

<math>1/\tau</math>는 '''비틀림 반지름'''({{llang|en|radius of torsion}})이라고 한다.

== 성질 ==
곡선의 비틀림이 모든 점에서 0일 [[필요 충분 조건]]은 그 곡선을 포함하는 평면이 존재하는 것이다.

== 예 ==
우향 [[나선]]의 비틀림은 양수이며, 좌향 나선의 비틀림은 음수이다.

== 참고 문헌 ==
* {{인용| last1 = Pressley | first1 = Andrew | title = Elementary Differential Geometry | publisher = Springer Undergraduate Mathematics Series, Springer-Verlag | year = 2001 | isbn = 1-85233-152-6 }}

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=Torsion|title=Torsion}}
* {{매스월드|id=RadiusofTorsion|title=Radius of torsion}}

{{전거 통제}}

[[분류:곡률]]
[[분류:곡선]]
[[분류:미분기하학]]