고전적 수반 행렬 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[선형대수학]]에서 '''고전적 수반 행렬'''(古典的隨伴行列, {{llang|en|adjugate, classical adjoint}})은 [[여인자 행렬]]의 [[전치 행렬]]이다.<ref name="HoffmanKunze">{{서적 인용|성1=Hoffman|이름1=Kenneth|성2=Kunze|이름2=Ray|제목=Linear algebra|url=https://archive.org/details/linearalgebra00hoff_0|언어=en|판=2|출판사=Prentice-Hall|위치=Englewood Cliffs, N. J.|날짜=1971|isbn=0-13-536797-2|mr=0276251|zbl=0212.36601|id={{iaid|LinearAlgebraHoffmanAndKunze}}}}</ref> 기호는 <math>\operatorname{adj}</math>.

== 정의 ==
[[가환환]] <math>R</math> 위의 <math>n\times n</math> [[정사각 행렬]] <math>M\in\operatorname{Mat}(n;R)</math>의 '''고전적 수반 행렬'''은 [[여인자 행렬]]의 [[전치 행렬]]이다.
:<math>\operatorname{adj}M=\mathrm C(M)^\top\in\operatorname{Mat}(n;R)</math>
즉, <math>\operatorname{adj}M</math>의 <math>(i,j)</math>-성분은 <math>M</math>의 <math>j</math>번째 행 및 <math>i</math>번째 열을 지운 [[여인자]]이다.
:<math>(\operatorname{adj}M)_{ij}=\mathrm C(M)_{ji}=(-1)^{i+j}\det(M_{\{1,\dots,n\}\setminus\{j\},\{1,\dots,n\}\setminus\{i\}})</math>
여기서 <math>\det</math>는 [[행렬식]]이다.

== 성질 ==
[[가환환]] <math>R</math> 위의 <math>n\times n</math> [[정사각 행렬]] <math>M\in\operatorname{Mat}(n;R)</math>에 대하여, 다음과 같은 항등식이 성립한다.<ref name="HoffmanKunze"/>
:<math>M\operatorname{adj}M=(\operatorname{adj}M)M=(\det M)1_{n\times n}</math>
특히, 만약 <math>\det M\in R</math>가 [[가역원]]이라면 (<math>R</math>가 [[체 (수학)|체]]인 경우 이는 <math>\det M\ne 0</math>이라는 조건과 같다), <math>M</math>의 [[역행렬]]은 다음과 같다.
:<math>M^{-1}=(\det M)^{-1}\operatorname{adj}M</math>
그 밖에 다음 항등식들이 성립한다.
:<math>\det(\operatorname{adj}M)=(\det M)^{n-1}</math>
:<math>\operatorname{adj}(M^\top)=\operatorname{adj}M</math>

== 예제 ==
=== 1 × 1 일반 행렬 ===
0이 아닌 1×1 행렬 (실수 혹은 허수)의 수반행렬은 <math>\mathbf{I} = \begin{bmatrix} 1 \end{bmatrix}</math>이고, adj(0) = 0으로 정의한다.

=== 2 × 2 일반 행렬 ===
2×2 행렬
:<math>\mathbf{A} = \begin{bmatrix} a & b \\ c  & d \end{bmatrix}
</math>
의 수반행렬은
:<math>
\operatorname{adj}(\mathbf{A}) = \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}.
</math>
이고, 직접 대입으로 다음을 보일 수 있다.
:<math>\mathbf{A} \operatorname{adj}(\mathbf{A}) = \begin{bmatrix} ad - bc & 0 \\ 0 & ad - bc \end{bmatrix} = (\det \mathbf{A})\mathbf{I}.</math>
이 경우에는 det(adj('''A''')) = det('''A''')이 성립하고, 결국 adj(adj('''A''')) = '''A'''이다.
<!-- PLEASE DO NOT "CORRECT" WHAT IS NOT BROKEN. CHECK THE INVERSE FIRST. -->

=== 3 × 3 일반 행렬 ===
다음 3×3 행렬은
:<math>
\mathbf{A} = \begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{bmatrix}.
</math>
다음과 같이 [[여인자_행렬]]을 구하고
:<math>
\mathbf{C} = \begin{bmatrix}
+\begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} &
-\begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} &
+\begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix} \\
     \\
-\begin{vmatrix} a_{12} & a_{13} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} &
+\begin{vmatrix} a_{11} & a_{13} \\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} &
-\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix} \\
     \\
+\begin{vmatrix} a_{12} & a_{13} \\ a_{22} & a_{23} \end{vmatrix} &
-\begin{vmatrix} a_{11} & a_{13} \\ a_{21} & a_{23} \end{vmatrix} &
+\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}
\end{bmatrix},
</math>
여기서
:<math>
\begin{vmatrix} a_{im} & a_{in} \\ a_{jm} & a_{jn} \end{vmatrix}
=\det\begin{bmatrix} a_{im} & a_{in} \\ a_{jm} & a_{jn} \end{bmatrix} .
</math>

수반행렬은 이 여인자행렬의 전치 행렬로 다음과 같이 구해진다.
:<math>
\operatorname{adj}(\mathbf{A}) = \mathbf{C}^\mathsf{T} = \begin{bmatrix}
+\begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} &
-\begin{vmatrix} a_{12} & a_{13} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} &
+\begin{vmatrix} a_{12} & a_{13} \\ a_{22} & a_{23} \end{vmatrix} \\
 & & \\
-\begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} &
+\begin{vmatrix} a_{11} & a_{13} \\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} &
-\begin{vmatrix} a_{11} & a_{13} \\ a_{21} & a_{23} \end{vmatrix} \\
 & & \\
+\begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix} &
-\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix} &
+\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}
\end{bmatrix}.
</math>

=== 3 × 3 행렬 수치 계산 예 ===
다음 행렬의 수반행렬은 아래와 같이 구해진다.
:<math>\operatorname{adj} \begin{bmatrix}
-3 &  2 & -5 \\
-1 &  0 & -2 \\
 3 & -4 &  1
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
-8 & 18 & -4 \\
-5 & 12 & -1 \\
 4 & -6 &  2
\end{bmatrix}.
</math>
이 수반행렬이 원래 행렬의 역행렬에 행렬식 {{math|&minus;6}}을 곱한 것과 같다는 것을 쉽게 보일 수 있다.

수반행렬의 두번째 행 세번째 열에 {{math|&minus;1}}은 다음과 같이 구해진다. 수반행렬의 (2행,3열)값은 여인자행렬의 (3행,2열)값이다. 여인자는 해당 행과 열을 없앤 [[부분_행렬]],
:<math>\begin{bmatrix} -3 & -5 \\ -1 & -2 \end{bmatrix}.</math>
과 (3행,2열)에 해당하는 부호값을 이용하여 다음과 같이 구해진다.
:<math>(-1)^{3+2}\operatorname{det}\begin{bmatrix}-3&-5\\-1&-2\end{bmatrix}=-(-3 \cdot -2 - -5 \cdot -1)=-1,</math>
그러므로 수반행렬의 (2행,3열)값은  {{math|&minus;1}}이다.

== 같이 보기 ==
* [[케일리-해밀턴 정리]]
* [[크라메르 법칙]]
== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{플래닛매스|urlname=Adjugate|title=Adjugate}}

[[분류:행렬론]]
[[분류:선형대수학]]