고전군 문서 원본 보기

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[[리 군론]]에서, '''고전군'''(古典群, {{llang|en|classical group}})은 [[실수]], [[복소수]], 또는 [[사원수]] 계수의, 특별한 [[쌍선형 형식]] 또는 [[에르미트 형식]]을 보존하는 [[정사각 행렬]]로 구성되는 [[리 군]]이다. 이들은 모두 (중심에 대한 몫을 취하면) [[단순 리 군]]을 이룬다. 고전군이 아닌 단순 리 군은 [[F₄]], [[G₂]], [[E₆]], [[E₇]], [[E₈]] 밖에 없다.

== 정의 ==
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
* 유한 차원 실수 [[결합 대수]]를 이루는 [[나눗셈환]] <math>K \in \{\mathbb R,\mathbb C,\mathbb H\}</math> ([[실수체]], [[복소수체]], 또는 [[사원수 대수]])
* <math>K</math> 위의 유한 차원 [[왼쪽 가군]] ([[벡터 공간]]) <math>_KV\cong {}_KK^{\oplus n}</math>
* 실수 [[결합 대수]]의 [[준동형]] <math>\sigma\colon K\to K^{\operatorname{op}}</math>, <math>\sigma \in \{\operatorname{id}, a\mapsto\bar a\}</math>. 즉, 이는 [[항등 함수]]이거나 또는 (<math>K\in\{\mathbb C,\mathbb H\}</math>일 때) 켤레 연산이다.
** 특히, <math>K=\mathbb H</math>일 때, <math>\operatorname{id}\colon\mathbb H\to\mathbb H</math>는 [[환 준동형]]이 아니므로, <math>\sigma \colon a\mapsto \bar a</math>이어야 한다. 따라서, <math>(K,\sigma) \in \{(\mathbb R,\operatorname{id}), (\mathbb C,\operatorname{id}), (\mathbb C,a\mapsto\bar a),(\mathbb H,a\mapsto\bar a)\}</math> 네 가지가 있다.
* <math>V</math> 위의 함수 <math>Q \colon V \times V \to K</math>. 이는 실수 계수 [[쌍선형 형식]]이어야 하며, 또한 다음 조건을 만족시켜야 한다.
*:<math>Q(ua,vb) = \sigma(a)Q(u,v)b \qquad\forall u,v\in V,\;a,b\in K</math>
그렇다면, 이 데이터로 정의되는 '''고전군'''은 다음과 같은 부분군이다.
:<math>G = \{T \in \operatorname{GL}(V;K) \colon Q(Tu,Tv) = Q(u,v)\;\forall u,v\in V\}</math>

== 분류 ==
<math>V</math> 위의, 위와 같은 함수 <math>Q\colon V\times V\to K</math>는 항상 다음과 같이 분해된다.
:<math>Q(u,v) = Q^+(u,v) + Q^-(u,v)</math>
:<math>Q^\pm(u,v) = \frac12 (Q(u,v) \pm \sigma(Q(v,u)))</math>
그렇다면, <math>Q^\pm</math>는 다음과 같은 성질을 갖는다.
:<math>Q^\pm(u,v) = \pm \sigma(Q(v,u))</math>

따라서, <math>Q</math>로 정의되는 고전군은 <math>Q^+</math>와 <math>Q^-</math>로 정의되는 두 고전군의 [[교집합]]이다.

또한, 만약 <math>K=\mathbb H</math>이며, <math>\sigma=\operatorname{id}</math>인 경우, 가능한 <math>Q</math>는 <math>Q=0</math> 밖에 없다 (즉, 자명하지 않은 사원수 쌍선형 형식은 존재하지 않는다).

이제, 가능한 경우는 다음 밖에 없으며, 각 경우 이차 형식을 다음과 같은 표준 형식으로 놓을 수 있다.
{| class=wikitable
! 계수 <math>K</math> || <math>Q</math>의 조건 || 고전군 || 표준 형식 || [[리 대수]] 형태
|-
| rowspan=3 | [[실수체]] || 0 || <math>\operatorname{GL}(n;\mathbb R)</math> || 0 || <math>\mathsf A_{n-1}</math>
|-
| 대칭 쌍선형 || <math>\operatorname O(p,n-p;\mathbb R)</math> || <math>x_1y_1+\dotsb+x_py_p - (x_{p+1}y_{p+1} + \dotsb + x_ny_n)</math> || <math>\mathsf B_{(n-1)/2}</math> 또는 <math>\mathsf D_{n/2}</math>
|-
| 반대칭 쌍선형 || <math>\operatorname{Sp}(n;\mathbb R)</math> (<math>n</math> 짝수) || <math>x_1y_2 - x_2y_1 + x_3y_4 - x_4y_3 + \dotsb + x_{n-1}y_{n} - x_{n}y_{n-1}</math> || <math>\mathsf C_n</math>
|-
| rowspan = 5 | [[복소수체]] || 0 || <math>\operatorname{GL}(n;\mathbb C)</math> || 0 || <math>\mathsf A_{n-1}</math>
|-
| 대칭 쌍선형 || <math>\operatorname O(n;\mathbb C)</math> || <math>x_1y_1 + \dotsb + x_ny_n</math> || <math>\mathsf B_{(n-1)/2}</math> 또는 <math>\mathsf D_{n/2}</math>
|-
| 반대칭 쌍선형 || <math>\operatorname{Sp}(n;\mathbb C)</math> (<math>n</math> 짝수) || <math>x_1y_2 - x_2y_1 + x_3y_4 - x_4y_3 + \dotsb + x_{n-1}y_{n} - x_{n}y_{n-1}</math> || <math>\mathsf C_n</math>
|-
| 에르미트
| rowspan=2 | <math>\operatorname U(p,n-p)</math> || <math>\bar x_1y_1 + \dotsb + \bar x_ny_n</math>
| rowspan=2 | <math>\mathsf A_{n-1}</math>
|-
| 반에르미트 || <math>\mathrm i(\bar x_1 y_1 + \dotsb + \bar x_ny_n)</math>
|-
| rowspan = 3 | [[사원수 대수]] || 0 || <math>\operatorname U^*(2n)</math> || 0 || <math>\mathsf A_{2n-1}</math>
|-
| 에르미트 || <math>\operatorname{USp}(2p,2(n-p))</math> || <math>\bar x_1y_1 + \dotsb + \bar x_py_p - (\bar x_{p+1}y_{p+1} + \dotsb + \bar x_ny_n)</math> || <math>\mathsf C_n</math>
|-
| 반에르미트 || <math>\operatorname O^*(2n)</math> || <math>\bar x_1\mathrm iy_1 + \dotsb + \bar x_n\mathrm iy_n</math> || <math>\mathsf D_n</math>
|}

== 성질 ==
고전군 사이에는 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
:<math>\operatorname U(p,q) \subseteq \operatorname{GL}(p+q;\mathbb C)\cap\operatorname O(2p,2q;\mathbb R)</math>
:<math>\operatorname O(p,q;\mathbb R) \subseteq \operatorname U(p,q) \cap \operatorname O(p+q;\mathbb C)</math>
:<math>\operatorname{Sp}(p,q;\mathbb R)\subseteq\operatorname{Sp}(p+q;\mathbb C)</math>
:<math>\operatorname{USp}(p,q) = \operatorname U(p,q) \cap \operatorname{Sp}(p+q;\mathbb C)</math>
:<math>\operatorname U^*(2n) \subseteq\operatorname{GL}(2n;\mathbb C)</math>
:<math>\operatorname O^*(2n) = \operatorname O(2n;\mathbb C) \cap \operatorname U(n,n)</math>
:<math>\operatorname U(n/2) \cong \operatorname O(n;\mathbb R) \cap \operatorname{Sp}(n;\mathbb R)</math>

== 역사 ==
‘고전군’({{llang|en|classical group}})이라는 용어는 [[헤르만 바일]]이 1939년에 최초로 사용하였다.<ref>{{서적 인용|제목=The classical groups. Their invariants and representations|이름=Hermann|성=Weyl|저자링크=헤르만 바일|날짜=1939|출판사=Princeton University Press|url=https://press.princeton.edu/titles/2169.html|언어=en}}</ref>

== 참고 문헌 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Classical group}}

[[분류:리 군]]
[[분류:행렬]]