고윳값 행렬 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
'''고유값 행렬'''(eigenvalue matrix)은  [[고유벡터]]와 함께 임의의 대상이되는 [[행렬]]의 특성을 보여주는 정보를 갖고있는 [[행렬]]이다.

어떤 [[행렬]]의 [[고유값 분해]]에서 그 고유값행렬은  [[계수 행렬]]의 특수한 경우이다.

==고유값 행렬식과 판별식 ==
실수 <math>2\times2</math> 행렬을 예약하고
:<math>A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}</math>
의 [[고유값]] [[행렬식]]은 다음과 같다.
:<math>\begin{align}
\det(xI-A)&=\begin{pmatrix}x-a&-b\\-c&x-d\end{pmatrix}\\
           &=x^2-(a+d)x+(ad-bc)\\
           &=x^2-\operatorname{tr}Ax+\det A
\end{align}</math>
이어서 판별식은 다음과 같다.
:<math>\Delta=\operatorname{tr}^2A-4\det A</math>

:여기서 <math>tr =</math> [[대각합]]  <math>\det =</math> [[행렬식]] <math>I</math>는 [[단위행렬]]

==예==
:<math> A=
\begin{pmatrix}
 -5 & 4 \\
 0 & 1
\end{pmatrix}
</math>
:<math>\begin{align}
\det(xI-A)&=\begin{pmatrix}
x-(-5) & -4 \\
-0 & x-(1)
\end{pmatrix}\\
           &=x^2-(-5+1)x+(-5-0)\\
           &=x^2 + 4 x -5
\end{align}</math>
:<math>x^2 + 4 x -5 = 0</math>
:<math>x= 1 \;,\; -5 </math>
이어서

:<math> x = -5 </math>일때,
:<math>
\begin{pmatrix}
(-5)-(-5) & -4 \\
-0 & (-5)-(1)
\end{pmatrix}
</math>
:<math>
\begin{pmatrix}
0 & -4 \\
0 & -6
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_1 \\
x_2
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0 \\
0
\end{pmatrix}
</math>
:<math> -4 x_2 = 0 </math>
:<math> -6 x_2 = 0 </math>
:<math> x_2 = 0 </math>
:<math>
\begin{pmatrix}
x_1 \\
x_2
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
x_1 \\
0
\end{pmatrix}
=
x_1
\begin{pmatrix}
1 \\
0
\end{pmatrix}
</math>


:<math> x = 1 </math>일때,
:<math>
\begin{pmatrix}
(1)-(-5) & -4 \\
-0 & (1)-(1)
\end{pmatrix}
</math>
:<math>
\begin{pmatrix}
6 & -4 \\
0 & 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_1 \\
x_2
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0 \\
0
\end{pmatrix}
</math>
:<math> 6x_1 + -4x_2 = 0 </math>
:<math> 6x_1 = 4x_2 </math>
:<math> x_1 = {{4x_2} \over{6}} </math>
:<math> x_1 = {{2} \over{3}}x_2 </math>
:<math>
\begin{pmatrix}
x_1 \\
x_2
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
{{2} \over{3}}x_2 \\
x_2
\end{pmatrix}
=
x_2
\begin{pmatrix}
{{2} \over{3}} \\
1
\end{pmatrix}
</math>



:<math>
\begin{pmatrix}
 1 &  {{2} \over{3}} \\
 0 &  1 \\
\end{pmatrix}
</math>


[[고유 벡터]]의 순서에서 고유벡터행렬 <math>P</math>를 얻고 ,
:이어서
:<math>P^{-1}AP = A^{D}</math>
로부터 [[대각화행렬|대각화 행렬]]  <math>A^{D}</math> 을 얻는다.

== 같이 보기 ==
* [[행렬 분해]]
* [[미분 방정식]]
* [[차분 방정식]]
* [[Z변환]]

==참고==
* [http://mathworld.wolfram.com/Eigenvalue.html 매스월드]
* [http://mathworld.wolfram.com/Eigenvector.html 매스월드]

[[분류:행렬]]