고유 함수 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
{{다른 뜻 2|일반위상수학의 개념|대수기하학의 개념|고유 사상|[[함수 공간]]에서의 [[고유벡터]]|고윳값과 고유 벡터}}
[[일반위상수학]]에서 '''고유 함수'''(固有函數, {{llang|en|proper map}})은 [[콤팩트 집합]]의 [[원상 (수학)|원상]]이 콤팩트한 [[연속 함수]]이다.

== 정의 ==
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X,Y</math> 사이의 [[연속 함수]] <math>f\colon X\to Y</math>가 다음 성질을 만족시키면, <math>f</math>를 '''고유 함수'''라고 한다.
:임의의 [[콤팩트 집합]] <math>K\subset Y</math>에 대하여, <math>K^{-1}(f)\subset X</math>는 [[콤팩트 집합]]이다.
([[스킴 (수학)|스킴]]의 [[고유 사상]]은 이 조건과 다른 조건이다.)

[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X,Y</math> 사이의 [[연속 함수]] <math>f\colon X\to Y</math>가 다음 성질을 만족시키면, <math>f</math>를 '''준콤팩트 함수'''(準-, {{llang|en|quasicompact map}})라고 한다.
:임의의 [[콤팩트 집합|콤팩트]] [[열린집합]] <math>K\subset Y</math>에 대하여, <math>K^{-1}(f)\subset X</math>는 [[콤팩트 집합|콤팩트]] [[열린집합]]이다.
이 조건은 [[스킴 이론]]에서 쓰인다. 두 스킴 사이의 '''준콤팩트 사상'''({{llang|en|quasicompact morphism}})은 준콤팩트 함수인 [[스킴 사상]]이다. ([[스킴 사상]]은 항상 [[연속 함수]]이다.) [[공역]] <math>Y</math>가 [[하우스도르프 공간]]이라면 <math>Y</math>의 콤팩트 [[열린집합]]은 [[열린닫힌집합]]이며, <math>Y</math>가 [[하우스도르프 공간|하우스도르프]] [[연결 공간]]인 경우 이는 [[공집합]]이거나 <math>Y</math> 전체이다. 따라서, 공역이 하우스도르프 연결 공간인 경우 준콤팩트 함수의 개념은 자명하다. 그러나 대부분의 [[스킴 (수학)|스킴]]은 [[하우스도르프 공간]]이 아니다.

== 성질 ==
정의에 따라서, [[연속 함수]]에 대하여 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
:고유 함수 <math>\subsetneq</math> 준콤팩트 함수 <math>\subsetneq</math> 연속 함수

=== 필요 조건 · 충분 조건 ===
어떤 [[연속 함수]] <math>f\colon X\to Y</math>에 대하여, [[닫힌 함수]]이며 또한 모든 점 <math>y\in Y</math>의 [[원상 (수학)|원상]]이 [[콤팩트 집합]]이라면 <math>f</math>는 고유 함수이다. 만약 <math>Y</math>가 [[국소 콤팩트]] [[하우스도르프 공간]]이라면 그 역도 성립한다.

만약 <math>X,Y</math>가 [[거리 공간]]이라면, 고유성은 다음 개념을 통해 정의할 수 있다.
:[[거리 공간]] <math>X</math> 속의 [[수열]] <math>x_i\in X</math>가 주어졌다고 하자. 만약 모든 콤팩트 집합 <math>K</math>에 대하여 <math>K\cap\{x_i\}_{i\in\mathbb N}</math>가 [[유한 집합]]이라면, <math>(x_i)_{i\in\mathbb N}</math>를 '''무한대로 달아난다'''({{llang|en|escape to infinity}})고 한다.
[[거리 공간]] 사이의 [[연속 함수]] <math>f\colon X\to Y</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* 고유 함수이다.
* <math>X</math> 속의 모든 무한대로 달아나는 [[수열]]의 [[상 (수학)|상]]이 (<math>Y</math> 속에서) 항상 무한대로 달아난다.

[[스킴 사상]] <math>f\colon X\to Y</math>에 대하여 다음 조건들이 서로 [[동치]]이다.
* 준콤팩트 사상이다.<ref name="GW">{{서적 인용|제목=Algebraic geometry. Part I: Schemes. With examples and exercises|이름=Ulrich|성=Görtz|이름2=Torsten|성2=Wedhorn|언어=en}}</ref>{{rp|242, Proposition and Definition 10.1(i)}}
* 임의의 [[아핀 스킴|아핀]] [[열린집합]] <math>A\subseteq Y</math>에 대하여, <math>f^{-1}(A)</math>는 [[콤팩트 집합]]이다.<ref name="Hartshorne">{{서적 인용 | 이름=Robin|성=Hartshorne| 날짜 = 1977|제목=Algebraic geometry|저자링크=로빈 하츠혼|출판사=Springer| isbn =  978-0-387-90244-9|mr=0463157 | zbl = 0367.14001 | 언어=en|doi=10.1007/978-1-4757-3849-0|총서=Graduate Texts in Mathematics|권=52|issn=0072-5285}}</ref>{{rp|91, Exercise II.3.2}} (모든 [[아핀 스킴]]은 [[콤팩트 공간]]이다.)
* <math>Y</math>는 <math>f</math>에 대한 [[원상 (수학)|원상]]이 [[콤팩트 집합]]인 [[아핀 스킴]]들로 구성된 [[열린 덮개]] <math>\{\iota_i\colon\operatorname{Spec}R_i\to Y\}_{i\in I}</math>를 갖는다.<ref name="GW"/>{{rp|242, Proposition and Definition 10.1(ii)}}
그러나 마지막 조건에서, "[[원상 (수학)|원상]]이 [[콤팩트 집합]]인 [[아핀 스킴]]들로 구성된 [[열린 덮개]]"를 "원상이 [[콤팩트 집합]]인 [[콤팩트 공간|콤팩트]] 열린 부분 스킴으로 구성된 [[열린 덮개]]"로 약화시킨다면 이는 동치이지 않다.<ref>{{저널 인용|성= Vistoli|이름=Angelo|제목=Notes on Grothendieck topologies, fibered categories and descent theory|날짜=2007|arxiv=math/0412512|bibcode=2004math.....12512V|언어=en}}</ref>{{rp|Remark 1.5}}

=== 기타 성질 ===
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>에 대하여 다음 세 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>X</math>가 [[콤팩트 공간]]이다.
* [[한원소 공간]]으로 가는 유일한 함수 <math>X\to\{\bullet\}</math>가 고유 함수이다.
* [[한원소 공간]]으로 가는 유일한 함수 <math>X\to\{\bullet\}</math>가 준콤팩트 함수이다.

[[정의역]]이 [[콤팩트 공간]]이고 [[공역]]이 [[하우스도르프 공간]]인 [[연속 함수]]는 고유 함수이자 [[닫힌 함수]]이다.

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Proper map}}
* {{eom|title=Compact mapping}}
* {{eom|title=Perfect mapping}}
* {{nlab|id=proper map|title=Proper map}}
* {{nlab|id=quasicompact morphism|title=Quasicompact morphism}}

[[분류:일반위상수학]]
[[분류:연속 함수]]