고유값 분해 문서 원본 보기

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'''고유값 분해'''(eigen decomposition)는 [[고유값]]과 [[고유벡터]]로부터 유도되는 [[고유값 행렬]]과 고유벡터 행렬에 의해 분해될수있는 행렬의 표현이다.

[[선형대수학]]에서 , 고유값 분해 또는 고유 분해(때때로 [[스펙트럼 정리|스펙트럼 분해]])는 매트릭스(행렬)를 정형화된 형태로 분해함으로써 행렬이 고유값 및 고유 벡터로 표현된다. [[대각화행렬|대각화 가능 행렬]]만이 인수분해될 수 있다.


== 분해 ==
:<math> A=
\begin{pmatrix}
 -5 & 4 \\
 0 & 1
\end{pmatrix}
</math> , I는 [[단위행렬]], det는 [[행렬식]]
:<math>\begin{align}
\det(xI-A)&=\begin{pmatrix}
x-(-5) & -4 \\
-0 & x-(1)
\end{pmatrix}\\
           &=x^2-(-5+1)x+(-5-0)\\
           &=x^2 + 4 x -5
\end{align}</math>
:<math>x^2 + 4 x -5 = 0</math>
:<math>x= 1 \;,\; -5 </math>
이어서

:<math> x = -5 </math>일때,
:<math>
\begin{pmatrix}
(-5)-(-5) & -4 \\
-0 & (-5)-(1)
\end{pmatrix}
</math>
:<math>
\begin{pmatrix}
0 & -4 \\
0 & -6
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_1 \\
x_2
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0 \\
0
\end{pmatrix}
</math>
:<math> -4 x_2 = 0 </math>
:<math> -6 x_2 = 0 </math>
:<math> x_2 = 0 </math>
:<math>
\begin{pmatrix}
x_1 \\
x_2
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
x_1 \\
0
\end{pmatrix}
=
x_1
\begin{pmatrix}
1 \\
0
\end{pmatrix}
</math>


:<math> x = 1 </math>일때,
:<math>
\begin{pmatrix}
(1)-(-5) & -4 \\
-0 & (1)-(1)
\end{pmatrix}
</math>
:<math>
\begin{pmatrix}
6 & -4 \\
0 & 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_1 \\
x_2
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0 \\
0
\end{pmatrix}
</math>
:<math> 6x_1 + -4x_2 = 0 </math>
:<math> 6x_1 = 4x_2 </math>
:<math> x_1 = {{4x_2} \over{6}} </math>
:<math> x_1 = {{2} \over{3}}x_2 </math>
:<math>
\begin{pmatrix}
x_1 \\
x_2
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
{{2} \over{3}}x_2 \\
x_2
\end{pmatrix}
=
x_2
\begin{pmatrix}
{{2} \over{3}} \\
1
\end{pmatrix}
</math>


[[고유 벡터]]의 순서에서 고유벡터행렬 <math>P</math>를 얻고 ,

:<math>
\begin{pmatrix}
 1 &  {{2} \over{3}} \\
 0 &  1 \\
\end{pmatrix}
</math>

:이어서
:<math>P^{-1}AP = A^{D}</math>
로부터 [[대각화행렬|대각화 행렬]] <math>A^{D}</math> 을 얻는다.

:<math>
\begin{pmatrix}
 1 &  -{{2} \over{3}} \\
 0 &  1 \\
\end{pmatrix}

\begin{pmatrix}
 -5 & 4 \\
 0 & 1
\end{pmatrix}

\begin{pmatrix}
 1 &  {{2} \over{3}} \\
 0 &  1 \\
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
 -5 & 0 \\
 0 & 1
\end{pmatrix}
</math>


:<math>P^{-1}AP = A^{D}</math>
:<math>PP^{-1}AP = PA^{D}</math>
:<math>AP = {P} { A^{D}} </math>

:<math>AP{P^{-1}} = {P} { A^{D}}{P^{-1}} </math>
:<math>A = {P} { A^{D}}{P^{-1}} </math>
행렬 A에 대한 고윳값 분해는 이와 같다.

:<math>

\begin{pmatrix}
 -5 & 4 \\
 0 & 1
\end{pmatrix}

=

\begin{pmatrix}
 1 &  {{2} \over{3}} \\
 0 &  1 \\
\end{pmatrix}

\begin{pmatrix}
 -5 & 0 \\
 0 & 1
\end{pmatrix}

\begin{pmatrix}
 1 &  -{{2} \over{3}} \\
 0 &  1 \\
\end{pmatrix}
</math>

== 특수한 경우 ==
* 임의의 행렬 A 와 <math>{\Lambda}</math>가 [[대각행렬]]일때,
:<math>\mathbf{A}=\mathbf{Q}\mathbf{\Lambda}\mathbf{Q}^{-1}  </math>
:Q는 [[직교행렬]]
:□ <sup>-1</sup>는 [[역행렬]]
:<math>{\Lambda}</math>는 A<sup>D</sup>

* 임의의 행렬 A 가 [[대칭행렬]]일때,
:<math>\mathbf{A}=\mathbf{Q}\mathbf{\Lambda}\mathbf{Q}^{T}  </math>
:Q는 [[직교행렬]]
:□ <sup>T</sup>는 [[전치행렬]]
:<math>{\Lambda}</math>는 A<sup>D</sup>


== 같이 보기 ==
* [[행렬 분해]]
* [[대각화행렬|대각화 행렬]]
* [[특이값 분해]]

== 참고 ==
* [http://mathworld.wolfram.com/EigenDecomposition.html 매스월드]

[[분류:행렬]]
[[분류:행렬론]]
[[분류:행렬 분해]]