계차수열 문서 원본 보기

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[[수학]]에서, [[수열]]의 '''계차수열'''(階差數列)은 그 수열의 인접하는 두 항의 차로 이루어지는 수열이다. 예를 들어 수열

:{{수학|1, 4, 9, 16, ... , ''n''<sup>2</sup>, ...}}

의 계차수열은

:{{수학|3, 5, 7, ... , 2''n'' + 1, ...}}

과 같다. 수열 {{{수학|{{mset|''a<sub>n</sub>''}}}}의 계차수열의 [[일반항]]은 {{수학|''a''<sub>''n''+1</sub> - ''a<sub>n</sub>''}}이다.

== 정의 ==
수열 {{수학|{{mset|''a<sub>n</sub>''}}}}의 '''계차수열'''은 다음과 같은 수열 {{수학|{{mset|Δ''a<sub>n</sub>''}}}}이다.<ref name="WQ">{{저널 인용|저자=吴强|연도=2008|편집자=张飞羽|제목=阶差数列的几个性质及其应用|번역제목=계차수열의 몇가지 성질과 그 응용|언어=zh|저널=河西学院学报|호=2|총서=24|쪽=6–9}}</ref>

:<math>\Delta a_n = a_{n+1} - a_n</math>

또, {{수학|{{mset|Δ''a<sub>n</sub>''}}}}의 계차수열

:<math>\Delta \Delta a_n = \Delta a_{n+1} - \Delta a_n = a_{n+2} - 2a_{n+1} + a_n</math>

을 '''제 2계차수열'''이라고 하고, {{수학|{{mset|Δ<sup>2</sup>''a<sub>n</sub>''}}}}으로 표기한다.

임의의 자연수 {{mvar|k}}에 대하여 '''제''' '''{{mvar|k}}계차수열'''({{lang|en|''k''th difference}}) {{수학|{{mset|Δ''<sup>k</sup>a<sub>n</sub>''}}}}은 다음과 같이 정의된다.

:<math>\Delta^k a_n = \underbrace{\Delta \Delta \cdots \Delta}_k a_n</math>

또는 ([[점화식]]을 써서)<ref name="WQ" />

:<math>\Delta^0 a_n = a_n</math>

:<math>\Delta^{k+1} a_n = \Delta \Delta^k a_n = \Delta^k a_{n+1} - \Delta^k a_n</math>

위에서 알 수 있듯이, {{mvar|a<sub>n</sub>}}의 영계 차수열은 자기 자신, 일계 차수열은 {{수학|Δ''a<sub>n</sub>''}}이다.

== 예 ==
* 수열 {{수학|1, 3, 5, 7, ...}}과 {{수학|2, 4, 6, 8, ...}}의 계차수열은 모두 {{수학|2, 2, 2, 2, ...}}이다.
* 수열 {{수학|1, {{수직분수|2}}, {{수직분수|3}}, {{수직분수|4}}, ...}}의 계차수열은 {{수학|{{수직분수|1 × 2}}, {{수직분수|2 × 3}}, {{수직분수|3 × 4}}, ...}}이다.
* 수열 {{수학|9, 99, 999, 9999, ...}}의 계차수열은 {{수학|90, 900, 9000, ...}}이다. 이계 차수열은 {{수학|810, 8100, ...}}이다.
* [[피보나치 수열]] {{수학|1, 1, 2, 3, 5, 8, ...}}의 계차수열은 {{수학|0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, ...}}, 즉 0 하나를 앞에 붙인 것과 같다.
* 등차수열 {{수학|1=''a<sub>n</sub>'' = ''pn'' + ''q''}}의 계차수열은 [[상수열]] {{수학|1=Δ''a<sub>n</sub>'' = ''p''}}이다. 특별히, 상수열 {{수학|1=''a<sub>n</sub>'' = ''c''}}의 계차수열은 영수열 {{수학|1=Δ''a<sub>n</sub>'' = 0}}이다.
* [[조화수열]] {{수학|1=''a<sub>n</sub>'' = {{수직분수|''pn'' + ''q''}}}}의 계차수열은 {{수학|1=Δ''a<sub>n</sub>'' = {{수직분수|''p''|(''pn'' + ''q'')(''pn'' + ''p'' + ''q'')}}}}이다.
* 주어진 수열 {{mvar|a<sub>n</sub>}}의 합 {{수학|1=''S<sub>n</sub>'' = ''a<sub>1</sub>'' + … + ''a<sub>n</sub>''}}의 계차수열은 {{수학|''a<sub>2</sub>'', ''a<sub>3</sub>'', ''a<sub>4</sub>'', ...}}이다.
* [[다항식의 차수|3차]] [[다항식]]인 {{수학|''n''<sup>3</sup>}}의 1, 2, 3계 차수열은 각각 {{수학|3''n''<sup>2</sup> + 3''n'' + 1}}, {{수학|6''n'' + 6}}, {{수학|6}}이며, 이들은 각각 2차, 1차, 0차 다항식이다.

== 성질 ==
* 임의의 수열 {{수학|{{mset|''a<sub>n</sub>''}}}}은 초항과 일계 차수열 {{수학|{{mset|Δ''a<sub>n</sub>''}}}}에 의해 유일하게 결정된다.
*:<math>a_n = a_1 + \Delta a_1 + \Delta a_2 + \cdots + \Delta a_{n-1} = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} \Delta a_k</math>
: 다만, 홀수열 {{수학|1, 3, ...}}과 짝수열 {{수학|2, 4, ...}}처럼, 일계 차수열이 같더라도, 수열의 초항이 다르면 다른 수열이 된다.
* 더 나아가, 수열은 모든 계수(0, 1, 2, ...)의 계차수열의 초항에 의해 다음과 같이 유일하게 결정된다.<ref name="WQ" />
*:<math>a_n = a_1 + (n - 1)\Delta a_1 + \frac{(n - 1)(n - 2)}{2}\Delta^2 a_1 + \cdots + \Delta^{n-1}a_1 = \sum_{k=0}^{n-1} {n - 1 \choose k}\Delta^k a_1</math>
: 여기서 <math>\textstyle {n - 1 \choose k}</math>는 {{수학|(''n'' - 1)}}개의 대상 중에서 {{mvar|k}} 개를 고른 [[조합수]]이다.
* {{mvar|k}}계 차수열의 일반항은 원래 수열의 항에 의해 다음과 같이 전개된다.
*:<math>\Delta^k a_n = a_{n+k} - ka_{n+k-1} + \frac{k(k - 1)}{2}a_{n+k-2} + \cdots + (-1)^k a_n = \sum_{i=0}^k (-1)^i {k \choose i}a_{n+k-i}</math>
* [[단조수열|수열의 단조성]]은 계차수열을 이용해 기술할 수 있다. 수열 {{수학|{{mset|''a<sub>n</sub>''}}}}이 [[단조증가]]할 [[필요충분조건]]은 {{수학|Δ''a<sub>n</sub>'' ≥ 0}}이 모든 {{mvar|n}}에게 성립하는 것이다. 수열 {{수학|{{mset|''a<sub>n</sub>''}}}}이 [[단조감소]]할 필요충분조건은, {{수학|Δ''a<sub>n</sub>'' ≤ 0}}이 모든 {{mvar|n}}에게 성립하는 것이다.
* [[아벨 변환]]
* [[슈톨츠-체사로 정리]]

== 고계 등차수열 ==
'''{{mvar|m}}계 등차수열'''{{수학|(''m'' ≥ 0)}}은 다음과 같이 귀납적으로 정의된다.

* 0이 아닌 상수의 수열은 0계 등차수열이다.
* 계차수열이 {{수학|(''k'' - 1)}}계 등차수열인 수열은 {{mvar|k}}계 등차수열이다.

위의 예시 문단에서, 수열 {{수학|{{mset|6, 6, ...}}}}은 0계 등차수열이며, 그 수열을 계차수열로 하는 수열인 {{수학|{{mset|6''n'' - 6}}}}은 1계 등차수열이다. 마찬가지로 {{수학|{{mset|3''n''<sup>2</sup> + 3''n'' + 1}}}}은 2계 등차수열, {{수학|{{mset|''n''<sup>3</sup>}}}}은 3계 등차수열이다.

어떤 수열 {{수학|{{mset|''a<sub>n</sub>''}}}}이 {{mvar|m}}계 등차수열일 필요충분조건은, 일반항이 {{mvar|n}}에 대한 [[다항식|{{mvar|m}}차 다항식]]이라는 것이다.<ref name="WQ" />

== 같이 보기 ==
* [[점화식]]
* [[계차]]
* [[수열]]

== 각주 ==
{{각주}}

[[분류:수열]]
[[분류:유한차분법]]