계수-퇴화차수 정리 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:Rank-nullity.svg|thumb|계수-퇴화차수 정리의 시각적 표현]]
[[선형대수학]]에서 '''계수-퇴화차수 정리'''({{llang|en|rank-nullity theorem}})는 [[행렬]]의 [[상 (수학)|상]]과 [[핵 (수학)|핵]]의 [[차원 (선형대수학)|차원]]의 관계에 대한 정리이다.

== 정의 ==
[[선형 변환]] <math>T\colon V\to W</math>의 [[정의역]] <math>V</math>가 [[유한 차원]] [[벡터 공간]]이라고 하자. 그렇다면, 다음의 '''계수-퇴화차수 정리'''가 성립한다.
:<math>\dim\operatorname{im}T+\dim\ker T=\dim V</math>
여기서 <math>\dim</math>은 [[차원 (선형대수학)|차원]]이며, <math>\operatorname{im}T</math>는 <math>T</math>의 [[상 (수학)|상]]이며, <math>\ker T</math>는 <math>T</math>의 [[핵 (수학)|핵]]이다. 상의 차원을 '''[[계수 (선형대수학)|계수]]'''라고 한다. 이를 다음과 같이 표기하자.
:<math>\operatorname{rank}T=\dim\operatorname{im}T</math>
핵의 차원을 '''퇴화차수'''라고 한다. 이를 다음과 같이 표기하자.
:<math>\operatorname{nul}T=\dim\ker T</math>
그렇다면, '''계수-퇴화차수 정리'''를 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.<ref name="Hoffman">{{서적 인용
|url=https://archive.org/details/LinearAlgebraHoffmanAndKunze
|성=Hoffman
|이름=Kenneth
|제목=Linear Algebra
|언어=en
|판=2
|출판사=Prentice-Hall
|위치=Upper Saddle River, New Jersey
|날짜=1971
|isbn=0-13-536797-2
}}</ref>{{rp|71}}
:<math>\operatorname{rank}T+\operatorname{nul}T=\dim V</math>

== 증명 ==
사실, 계수-퇴화차수 정리는 [[벡터 공간]]의 [[제1 동형 정리]]
:<math>V/\ker T\cong\operatorname{im}T</math>
의 자명한 [[따름정리]]이다. 이를 의존하지 않는 한 가지 증명은 다음과 같다.<ref name="Hoffman" />{{rp|71}} <math>\dim V=n</math>이라고 하자. <math>\ker T</math>의 기저 <math>\{v_1,v_2,\dots,v_r\}</math>(<math>r\le n</math>)를 취한 뒤, 이를 확장하여 <math>V</math>의 기저 <math>\{v_1,v_2,\dots,v_r,v_{r+1},\dots,v_n\}</math>을 만들자. 정리를 증명하려면, <math>\{Tv_{r+1},Tv_{r+2},\dots,Tv_n\}</math>이 <math>\operatorname{im}T</math>의 기저를 이룸을 보이는 것으로 족하다. 이를 보이려면, 다음 두 명제를 증명하기만 하면 된다.
* <math>\{Tv_{r+1},Tv_{r+2},\dots,Tv_n\}</math>은 [[선형 독립]]이다.
** 증명: <math>\sum_{j=r+1}^{n} a_{j}Tv_{j}=0</math>이며 <math>a_{r+1},a_{r+2},\dots,a_n\in K</math>라고 하자. 선형 변환의 성질에 따라 <math>T\left(\sum_{j=r+1}^{n}a_{j}v_{j} \right)=0</math>이며, <math>\ker T</math>의 정의에 따라 <math>\sum_{j=r+1}^{n}a_{j}v_{j}\in\ker T</math>이다. <math>\{v_1,v_2,\dots,v_r\}</math>가 <math>\ker T</math>의 기저이므로, <math>\sum_{j=r+1}^{n} a_{j}v_{j}=\sum_{k=1}^{r} a_{k}v_{k}</math>인 <math>a_1,a_2,\dots,a_r\in K</math>가 존재한다. 따라서, <math>\sum_{k=1}^{r} a_{k}v_{k}-\sum_{j=r+1}^{n} a_{j}v_{j}=0</math>인데, <math>\{v_1,v_2,\dots,v_n\}</math>이 <math>V</math>의 기저이므로, 선형 독립이다. 따라서 <math>a_1=a_2=\dots=a_n=0</math>이며, 특히 <math>a_{r+1}=a_{r+2}=\cdots=a_n=0</math>이다.
* <math>\{Tv_{r+1},Tv_{r+2},\dots,Tv_n\}</math>은 <math>\operatorname{im}T</math>를 [[선형 생성]]한다.
** 증명: <math>w\in\operatorname{im}T</math>라고 하자. 그렇다면, <math>\operatorname{im}T</math>의 정의에 따라 <math>w=Tv</math>인 <math>v\in V</math>가 존재한다. 이 <math>v</math>는 기저 <math>\{v_1,v_2,\dots,v_n\}</math>의 선형 결합으로 표현할 수 있다. 즉, <math>v=\sum_{i=1}^{n}b_{i}v_{i}</math>인 <math>b_1,b_2,\dots,b_n\in K</math>가 존재한다. 따라서 <math>w=Tv=\sum_{i=1}^{n} b_{i}Tv_{i}</math>인데, <math>v_1,v_2,\dots,v_r\in\ker T</math>이므로, <math>Tv_1=Tv_2=\cdots=Tv_r=0</math>이다. 즉, <math>w=\sum_{i=r+1}^{n}b_{i}Tv_{i}</math>이다. 즉, 임의의 <math>w\in\operatorname{im}T</math>는 <math>\{Tv_{r+1},Tv_{r+2},\dots,Tv_n\}</math>의 선형 결합으로 표현할 수 있다.
이에 따라, <math>\{Tv_{r+1},Tv_{r+2},\dots,Tv_n\}</math>은 <math>\operatorname{im}T</math>의 기저가 맞으며, 이로써 계수-퇴화차수 정리가 증명되었다.

== 참고 문헌 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=Rank-NullityTheorem|title=Rank-nullity theorem}}
* {{플래닛매스|urlname=ranknullitytheorem|title=Rank-nullity theorem}}
* {{플래닛매스|urlname=ProofOfRankNullityTheorem|title=Proof of rank-nullity theorem}}
* {{ProofWiki|id=Rank Plus Nullity Theorem|제목=Rank plus nullity theorem}}

[[분류:선형대수학 정리]]