계단 함수 문서 원본 보기

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[[수학]]에서 '''계단 함수'''(階段函數, {{llang|en|step function}}) 또는 '''조각마다 상수 함수'''(-常數函數, {{llang|en|piecewise-constant function}})는 [[정의역]]을 적절한 유한 개의 구간으로 분할하였을 때 각 구간에서 [[상수 함수]]가 되는 [[함수]]이다.

== 정의 ==
[[실수]] [[부분 집합]] <math>A\subseteq\mathbb R</math>의 '''[[지시 함수]]'''는 다음과 같다.
:<math>1_A\colon\mathbb R\to\mathbb R</math>
:<math>1_A\colon x\mapsto\begin{cases}
1 & x\in A \\
0 & x\in\mathbb R\setminus A
\end{cases}</math>

[[파일:Stepfunction1.png|thumb]]
'''계단 함수'''는 다음과 같은 꼴의 함수를 뜻한다.
:<math>s\colon\mathbb R\to\mathbb R</math>
:<math>s=\sum_{k=1}^nc_k1_{I_k}=c_11_{I_1}+\cdots c_n1_{I_n}</math>
여기서 <math>c_1,\dots,c_k\in\mathbb R</math>는 실수들이며, <math>I_1,\dots,I_k\subseteq\mathbb R</math>는 실수 [[구간]]들이다.

== 성질 ==
=== 연산에 대한 닫힘 ===
두 계단 함수의 합과 곱은 여전히 계단 함수이다. 이에 따라 구간 <math>I</math> 위의 계단 함수의 집합은 [[실수체]] 위의 [[대수 (환론)|대수]]를 이룬다.

=== 미분 ===
계단 함수는 유한 개의 점을 제외하면 [[미분 가능]]하며, 모든 미분 가능점에서의 미분은 0이다.

=== 적분 ===
계단 함수의 [[부정적분]]은 [[조각마다 일차 함수]]이다.

계단 함수의 [[르베그 적분]]은 다음과 같다.
:<math>\int\sum_{k=1}^nc_k1_{I_k}\mathrm d\mu=\sum_{k=1}^nc_k\mu(I_k)</math>
여기서 <math>\mu</math>는 [[르베그 측도]]이다.

== 예 ==
함수
:<math>s\colon\mathbb R\to\mathbb R</math>
:<math>s\colon x\mapsto\begin{cases}
0 & x\in(-\infty,0) \\
5 & x\in[0,1) \\
-1 & x=1 \\
2 & x\in(1,2) \\
9 & x\in[2,3] \\
0 & x\in(3,\infty)
\end{cases}</math>
는 계단 함수이다.

== 같이 보기 ==
* [[시그모이드 함수]]
* [[단순 함수]]
* [[단위 계단 함수]]

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Step function}}
* {{매스월드|id=StepFunction|title=Step function}}
* {{nlab|id=step function|title=Step function}}
* {{proofwiki|id=Definition:Step Function|제목=Definition:Step function}}

[[분류:특수 함수]]