게이지 변환군 문서 원본 보기

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[[이론물리학]]과 [[미분기하학]]에서 '''게이지 변환군'''(gauge變換群, {{llang|en|group of gauge transformations}})은 어떤 [[주다발]]의 [[자기 동형]]으로 구성된 [[위상군]]이다.<ref>{{서적 인용|url=https://www.math.uni-hamburg.de/home/wockel/data/diss.pdf | 이름=Christoph |성=Wockel |제목=Infinite-dimensional Lie theory for gauge groups | 기타=박사 학위 논문 (지도 교수 Karl-Hermann Neeb) | 날짜=2006 | 출판사=Technische Universität Darmstadt | 언어=en}}</ref> 그 원소를 '''게이지 변환'''(gauge變換, {{llang|en|gauge transformation}})이라고 한다. [[양-밀스 이론]]이나 [[천-사이먼스 이론]]과 같은 [[게이지 이론]]은 이러한 군을 대칭으로 갖는다.

== 정의 ==
=== 함수로서의 정의 ===
다음이 주어졌다고 하자.
* [[매끄러운 다양체]] <math>M</math>
* [[리 군]] <math>G</math>
* <math>G</math>-[[매끄러운 주다발]] <math>P\twoheadrightarrow M</math>
그렇다면, <math>P</math>의 '''게이지 변환'''은 <math>P</math>의 [[자기 동형 사상]]이다. 즉, [[매끄러운 함수]]
:<math>\phi \in \mathcal C^\infty(P,G)</math>
가운데, [[등변 함수]] 조건
:<math>\phi(p\cdot g) = g^{-1}\phi(p)g\qquad\forall (p,g) \in P\times G</math>
을 만족시키는 것이다.<ref name="AB"/>{{rp|539, (2.1)}} 즉, 다음과 같은 가환 그림이 성립한다.

:<math>\begin{matrix}
P \times G & \overset{(\cdot)}\to & P \\
{\scriptstyle\!\!\!\!\!\!(\phi,\operatorname{id})}\downarrow{\scriptstyle\color{White}(\phi,\operatorname{id})\!\!\!\!\!\!} && {\color{White}\scriptstyle\!\!\!\!\!\!\phi}\downarrow{\scriptstyle\phi\!\!\!\!\!\!} \\ 
G\times G & \underset{\!\!\!\!\!\!\!\!\!(h,g)\mapsto g^{-1}hg\!\!\!\!\!\!\!\!\!}\to & G
\end{matrix}
</math>

두 게이지 변환 <math>\phi,\chi</math>는 다음과 같이 점별 곱셈으로 곱할 수 있다.
:<math>(\phi\chi)(p) = \phi(p)\chi(p)</math>
그렇다면, 게이지 변환들의 집합은 [[위상군]]을 이룬다. 이를 '''게이지 변환군'''이라고 한다.

=== 연관 다발을 통한 정의 ===
다음이 주어졌다고 하자.
* [[매끄러운 다양체]] <math>M</math>
* [[리 군]] <math>G</math>
* <math>G</math>-[[매끄러운 주다발]] <math>P\twoheadrightarrow M</math>
그렇다면, [[연관 다발]] <math>\operatorname{Ad}(P) = P\times_GG</math>을 취할 수 있다. 여기서 <math>G</math>의, 스스로 위의 [[왼쪽 군 작용]]은 켤레 <math>g\cdot h = ghg^{-1}</math>이다.
이 [[올다발]]의 [[매끄러운 단면]]
:<math>\phi\in\Gamma^\infty(\operatorname{Ad}(P))</math>
을 <math>P</math>의 '''게이지 변환'''이라고 한다.

이 정의는 함수로서의 정의와 동치이다.<ref name="AB">{{저널 인용|제목=The Yang–Mills equations over Riemann surfaces|이름=Michael F.|성=Atiyah|저자링크1=마이클 아티야|이름2=Raoul|성2=Bott|저자링크2=라울 보트|저널= Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences|권=308|호=1505|날짜=1983-03-17|쪽=523–615|jstor=37156|doi= 10.1098/rsta.1983.0017|언어=en}}</ref>{{rp|539, §2}}

=== 무한소 게이지 변환 ===
게이지 변환군 <math>\operatorname{Aut}(P) = \Gamma^\infty(\operatorname{Ad}(P))</math>에 대응하는 [[실수 리 대수]]는 [[딸림표현]] [[연관 벡터 다발]]
:<math>\operatorname{ad}(P) = P \times_G \mathfrak g</math>
의 [[매끄러운 단면]]
:<math>\Gamma^\infty(\operatorname{ad}(G))</math>
의 [[실수 벡터 공간]]이다. 이 경우, <math>\mathfrak g</math>의 [[리 괄호]]는 <math>G</math>의 [[딸림표현]] 작용에 공변이므로,
:<math>[\operatorname{ad}(g)x,\operatorname{ad}(g)y] = \operatorname{ad}([x,y])</math>
이는 <math>\Gamma^\infty(\operatorname{ad}(G))</math> 위에 점별로 잘 정의되며, 이는 [[실수 리 대수]]를 이룬다. 그 원소는 '''무한소 게이지 변환'''({{llang|en|infinitesimal gauge transformation}})으로 해석될 수 있다.

=== 큰 게이지 변환 ===
게이지 변환군 <math>\operatorname{Aut}(P)</math>는 [[위상군]]이며, 그 [[연결 성분]]의 군
:<math>\pi_0(\operatorname{Aut}(P)) = \frac{\operatorname{Aut}(P)}{\operatorname{Aut}_0(P)}</math>
을 정의할 수 있다. 이를 '''큰 게이지 변환'''({{llang|en|large gauge transformation}})의 군이라고 한다. 반면, 항등원을 포함하는 연결 성분 <math>\operatorname{Aut}_0(P)</math>의 원소를 '''작은 게이지 변환'''({{llang|en|small gauge transformation}})이라고 한다.

== 성질 ==
=== 연관 벡터 다발의 단면 위의 작용 ===
임의의 <math>M</math> 위의 <math>G</math>의 유한 차원 실수 표현 <math>G\to\operatorname{GL}(V)</math>이 주어졌을 때, [[연관 벡터 다발]]
:<math>E = P \times_G V</math>
의 [[매끄러운 단면]]의 공간 <math>\Gamma^\infty(E)</math>를 생각할 수 있다. 게이지 변환군 <math>\operatorname{Aut}(P)</math>은 그 위에 다음과 같은 표준적인 [[왼쪽 군 작용]]을 갖는다.
:<math>(\phi \cdot s)(x) = q(p,\phi(p)v) \qquad(s(x) = q(p,v),\; (p,v) \in P\times V)</math>
여기서
:<math>q \colon P\times V \twoheadrightarrow P \times_GV=E</math>
는 [[연관 벡터 다발]]의 정의에 등장하는 [[전사 함수]]이다.

=== 주접속과 주곡률 위의 작용 ===
[[매끄러운 다양체]] <math>M</math> 위의 <math>G</math>-[[주다발]] <math>P\twoheadrightarrow M</math> 위의 주접속 <math>A\in\Omega^1(P;\mathfrak g)</math>이 주어졌다고 하자. <math>P</math>의 게이지 변환 <math>\phi\in\Gamma(\operatorname{Ad}(P))</math>는 주다발의 [[자기 동형]]
:<math>\phi_\#\colon P\to P</math>
:<math>\phi_\#\colon p\mapsto p\cdot\phi(p)</math>
를 정의하며, 따라서 주접속 위에도
:<math>\phi\cdot A = \phi_\#^*A</math>
와 같이 작용한다.

게이지 변환군은 주접속 <math>A\in\Omega^1(P;\mathfrak g)</math>의 곡률 <math>F\in\Omega^2(P;\mathfrak g)</math> 위에 마찬가지로 다음과 같이 작용한다.
:<math>F \mapsto \phi_\#^* F</math>
반면, 예를 들어, [[킬링 형식]] <math>B(-,-)</math> 및 [[준 리만 계량]] <math>g</math>에 대하여, [[양-밀스 이론|양-밀스 라그랑지언]] <math>B(F,F^\#) \in \Omega^0(M)</math>는 게이지 불변이다.

=== 큰 게이지 변환에 대한 레벨의 양자화 ===
[[매끄러운 다양체]] <math>M</math> 위의 [[주다발]] <math>P</math>를 생각하자.

어떤 작용 <math>S</math>가 게이지 변환 <math>\phi\in\Gamma^\infty(\operatorname{Ad}(P))</math>에 대하여 다음과 같은 꼴로 변환한다고 하자.
:<math>\frac1{2\pi}S \mapsto \frac1{2\pi}S + \sum_i \int_M F_i \wedge \phi^*\alpha_i</math>
:<math>\alpha_i \in \Omega^{d_i}(G)</math>, <math>((-)^g)^*\alpha_i = \alpha_i</math> (<math>(-)^g \colon G\to G,\;h\mapsto ghg^{-1}</math>)
:<math>\mathrm d\alpha_i = 0</math>
:<math>F_i \in \Omega^{n-d_i}(M)</math>
:<math>\mathrm dF_i = 0</math>
여기서 <math>\alpha_i</math>의 [[당김]]은 켤레 변환 불변성에 대하여 <math>\operatorname{Ad}(P)</math>의 임의의 국소 자명화에 상관없이 잘 정의된다.

이론이 [[양자장론]]에 따라 잘 정의되려면 (즉, <math>\exp(\mathrm iS)</math>가 게이지 불변이려면), 항상
:<math>\sum_i \int_M F_i \wedge g^*\alpha_i \in \mathbb Z</math>
이어야 한다.

만약 <math>g</math>가 작은 게이지 변환이라면, <math>\alpha_i</math>가 [[완전 미분 형식]]이 된다. 즉, <math>\alpha_i = \mathrm d\beta_i</math>라고 하면,
:<math>\frac1{2\pi}S \mapsto \frac1{2\pi}S + \sum_i \int_M\mathrm F_i\wedge\phi^*\mathrm d\beta_i = \frac1{2\pi}S + \sum_i (-)^{(n-d_i)}\int_M\mathrm d(F_i\wedge \phi^*\beta_i) = \frac1{2\pi}S</math>
가 되어, 이 작용은 작은 게이지 변환에 대하여 불변임을 알 수 있다. 그러나 이는 일반적으로 큰 게이지 변환에 대하여 불변이 아닐 수 있다. 즉, 만약 <math>\alpha_i</math>가 자명하지 않은 코호몰로지류를 갖는다면, 이는 이론에서
:<math>[M]\frown ([F_i] \smile \operatorname H^{d_i}(M;\mathbb R)) \in \mathbb Z</math>
의 꼴의 제약을 유도한다. 이는 [[디랙 양자화]]의 한 경우이다. (여기서 <math>[M]\in\operatorname H_n(M;\mathbb R)</math>는 실수 계수 [[기본류]]이다.)

특히, 만약 <math>d_i = n</math>일 경우, 이는
:<math>F_i\in \mathbb Z</math>
를 유도한다. 이 경우, 이 값 <math>F_i\in\mathbb Z</math>를 '''레벨'''({{llang|en|level}})이라고 한다.

예를 들어, 아벨 또는 비아벨 [[천-사이먼스 이론]]이 이와 같은 경우에 해당한다.<ref>{{저널 인용|이름1=Stanley|성1=Deser|이름2=Roman|성2=Jackiw|이름3=Stephen|성3=Templeton|저널=Annals of Physics|권=140|호=2|날짜=1982-05|쪽=372–411|doi=10.1016/0003-4916(82)90164-6|제목=Topologically massive gauge theories|언어=en}}</ref>

== 예 ==
=== 자명한 주다발 ===
<math>P=M\times G</math>가 자명한 [[주다발]]이라고 하자 (즉, 대역적 단면이 주어졌다고 하자). 이 경우, 표준적으로 <math>\operatorname{Ad}(P) = M \times G</math>가 되며, 게이지 변환은 단순히 [[매끄러운 함수]] <math>M\to G</math>가 된다.
<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''함수를 통한 정의:'''
<div class="mw-collapsible-content">
만약 <math>P = M\times G</math>가 자명한 [[주다발]]이라면, [[매끄러운 함수]] <math>\phi \in \mathcal C^\infty(M,G)</math>에 대응하는 게이지 변환은
:<math>\phi(m,g) = g^{-1}\phi(m)g \qquad\forall (m,g) \in P=M\times G</math>
이다.
</div></div>
<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''연관 다발을 통한 정의:'''
<div class="mw-collapsible-content">
만약 <math>P = M\times G</math>가 자명한 주다발이라면, <math>\operatorname{Ad}(P) = M\times G</math>이다. 구체적으로, <math>\operatorname{Ad}(P)</math>의 올을
:<math>G\times_GG = \frac{G\times G}{(gk,h)\sim (g,khk^{-1})}</math>
로 정의하면, 모든 [[동치류]]는
:<math>(g,h) \sim (1,ghg^{-1})</math>
의 [[동치 관계]] 아래 <math>(1,g)</math>의 꼴의 대표원을 갖는다.
</div></div>

만약 <math>M=\mathbb S^n</math>이 [[초구]]이며, <math>P=M\times G</math>가 자명한 주다발이라면, 큰 게이지 변환의 군은 [[호모토피 군]] <math>\pi_n(G)</math>과 [[집합]]으로서 같다. 그러나 [[호모토피 군]]으로서의 군 연산은 큰 게이지 변환의 군으로서의 군 연산과 일반적으로 다르다.

특히, 만약 <math>M=\mathbb S^3</math>이며, <math>G</math>가 [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[단순 리 군]]일 경우, <math>\pi_3(G) = \operatorname{Cyc}(\infty)</math> ([[무한 순환군]])이 된다.

=== 아벨 주다발 ===
만약 <math>G</math>가 [[아벨 군|아벨]] [[리 군]]이라고 하고, 이를 올로 갖는 [[매끄러운 주다발]] <math>P</math>를 생각하자. 이 경우, <math>G</math> 위의 켤레 작용이 자명하므로, 표준적으로
:<math>\operatorname{Ad}(P) = P \times_G G = M \times G</math>
가 되며, 게이지 변환은 단순히 [[매끄러운 함수]] <Math>M\to G</math>가 된다. 마찬가지로, 무한소 게이지 변환은 [[리 대수 값 미분 형식]] <math>\Omega^1(M)\otimes_{\mathbb R}\mathfrak{lie}(G)</math>가 된다.

이 경우, [[주접속]]의 곡률은 사실 <math>M</math> 위의 [[리 대수 값 미분 형식]] <math>F\in\Omega^2(M)\otimes_{\mathbb R}\mathfrak{lie}(G)</math>가 되며, 이는 게이지 불변이다.

== 같이 보기 ==
* [[게이지 대칭 (수학)]]
* [[게이지 이론]]
* [[게이지 이론 (수학)]]
* [[주다발]]
== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Gauge transformation}}
* {{nlab|id=gauge transformation|title=Gauge transformation}}
* {{nlab|id=large gauge transformation|title=Large gauge transformation}}
* {{nlab|id=gauge group|title=Gauge group}}

{{전거 통제}}

[[분류:양자장론]]
[[분류:미분기하학]]
[[분류:게이지 이론]]