검은 막 문서 원본 보기

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[[일반 상대성 이론]]과 [[끈 이론]]에서 '''검은 막'''({{llang|en|black brane|블랙 브레인}})은 고차원 중력 이론에 존재하는 개체로, [[블랙홀]]과 같이 [[사건 지평선]]을 가지지만 블랙홀과 달리 공간적으로 국한돼 있지 않다. 공간적으로 <math>p</math>차원을 차지하는 검은 막을 '''검은 ''p''-막'''이라고 한다.

== 정의 ==
<math>n</math>차원 [[민코프스키 시공간]] 속에서, <math>p+1</math>차원의 검은 막이 주어졌다고 하자. (즉, <math>p=0</math>은 [[블랙홀]]이며, <math>p=1</math>은 검은 끈이다.) 검은 막의 세계 부피 방향의 지표는
:<math>\mu,\nu\in\{0,1,\dotsc,p\}</math>
로 표기하자. 또한, 이 검은 막이 속도 <math>u^\mu</math>를 갖는다고 하자 (<math>u^\mu u^\nu \eta_{\mu\nu} = -1</math>). 그렇다면, 검은 <math>p</math>-막은 다음과 같은 좌표
:<math>(\sigma^0,\sigma^1,\dotsc,\sigma^p,r,\theta_1,\theta_2,\dotsc,\theta_{n-p-2})</math>
로 주어지며, 이에 대한 [[리만 계량]]은 다음과 같다.
:<math>\mathrm ds^2 = \left(
\eta_{\mu\nu}+(R/r)^{n-p-3}u_\mu u_\nu
\right)\mathrm d\sigma^\mu \mathrm d\sigma^\nu
+
\left(1-
(R/r)^{n-p-3}
\right)^{-1}\,\mathrm dr^2 + r^2 \mathrm d\Omega^2_{n-p-2}</math>
여기서
* <math>\eta_{\mu\nu}=\operatorname{diag}(-1,1,\dotsc,1)</math>은 <math>p+1</math>차원 민코프스키 계량이다.
* <math>\mathrm d\Omega^2_{n-p-2}</math>는 <math>(n-p-2)</math>차원 [[초구]]의 계량이다.
* <math>R</math>는 길이의 단위를 갖는 상수이다.

== 성질 ==
[[질량 중심]] 틀에서, 속도는
:<math>u_a u_b = \delta_{a0}\delta_{b0}</math>
이 된다. 이 경우, 계량은
:<math>\mathrm ds^2 = -\left(1-(R/r)^{n-p-3}\right)\,\mathrm dt^2 + \sum_{i=1}^p(\mathrm d\sigma^i)^2 + \left(1-
(R/r)^{n-p-3}
\right)^{-1}\,\mathrm dr^2 + r^2 \mathrm d\Omega^2_{n-p-2}
</math>
가 된다.

=== 대칭 ===
이 검은 막은
:<math>\operatorname{IO}(p,1) \times \operatorname O(n-p-1)</math>
대칭을 갖는다. 이 [[직접곱]]의 첫 성분은 <math>p+1</math>차원 [[푸앵카레 대칭]]이며, 둘째 성분은 막을 축으로 하는 회전 대칭([[직교군]])이다.

=== 사건 지평선 ===
이 계량은
:<math>r=R</math>
에서 [[사건 지평선]]을 갖는다.

== 응용 ==
[[끈 이론]]에서, [[끈 (물리학)|기본 끈]], [[D-막]], [[NS5-막]], M-막 등은 낮은 에너지에서 [[초중력]]의 검은 막으로 나타난다. 이들은 [[AdS/CFT 대응성]]을 유도할 때 중요한 역할을 한다.

=== M-막 ===
{{본문|M2-막}}
{{본문|M5-막}}
[[11차원 초중력]]의 경우, [[M이론]]의 [[M2-막]]과 [[M5-막]]에 해당하는 [[극대 블랙홀|극대]] 검은 2-막 및 5-막이 존재한다. 이 경우, [[계량 텐서]]는<ref name="BBS">{{서적 인용|이름=Katrin|성=Becker|공저자=Melanie Becker, [[존 헨리 슈워츠|John H. Schwarz]]|doi=10.2277/0511254865|제목={{lang|en|String Theory and M-Theory: A Modern Introduction}}|출판사=Cambridge University Press|isbn=978-0511254864|연도=2006|월=12|bibcode=2007stmt.book.....B|언어=en}}</ref>
:<math>ds^2=H_{\mathrm{M}p}(r)^{-2/3}\eta_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu+H_{\mathrm{M}p}(r)^{1/3}\delta_{ij}dy^idy^j</math>
이다. 여기서
:<math>H_{\mathrm{M}p}(r)=1+\left(\frac{r_{\mathrm{M}p}}{r}\right)^{8-p}</math>
이고, 
:<math>r_{\mathrm{M}2}^6=32\pi^2N_2l_p^6</math>
:<math>r_{\mathrm{M}5}^3=\pi N_5l_p^3</math>
이다. 또한 게이지장은
:<math>F_4=dx^0\wedge dx^1\wedge dx^2\wedge dH_{\mathrm{M}2}^{-1}</math> (M2-막)
:<math>F_4=*(dx^0\wedge dx^1\wedge dx^2\wedge dx^3\wedge dx^4\wedge dx^5\wedge dH_{\mathrm{M}5}^{-1})</math> (M5-막)
이다. 여기서 <math>*</math>는 11차원의 [[호지 쌍대]]이다.

=== D-막 ===
{{본문|D-막}}
10차원 [[초중력]]에서는 D''p''-막에 해당하는 [[극대 블랙홀|극대]] 검은 ''p''-막들이 존재한다. 그 [[계량 텐서]]는 (끈 틀({{llang|en|string frame}})에서) 다음과 같다.
:<math>ds^2=H_{\mathrm{D}p}(r)^{-1/2}\eta_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu+H_{\mathrm{D}p}(r)^{1/2}\delta_{ij}dy^idy^j</math>
여기서
:<math>H_{\mathrm{D}p}(r)=1+\left(\frac{r_p}{r}\right)^{7-p}</math>
:<math>r=\sqrt{\delta_{ij}y^iy^j}</math>
이고, 
:<math>r_p^{7-p}=(2\sqrt{\pi})^{5-p}\Gamma\left(\frac{7-p}{2}\right)g_sNl_s^{7-p}</math>
이다. 이 경우 [[딜라톤]]은
:<math>\exp(\Phi)=\exp(\Phi_0)H_{\mathrm{D}p}^{(3-p)/4}</math>
이고, <math>\Phi_0</math>은 <math>r\to\infty</math>에서의 딜라톤 크기다. [[라몽-라몽 장|라몽-라몽]] 장세기 <math>F_{p+2}</math>는 다음과 같다.
:<math>F_{p+2}=dH_{\mathrm{D}p}^{-1}\wedge\omega_{p+1}</math>
여기서 <math>\omega_{p+1}=dx^0\wedge dx^1\wedge\dots\wedge dx^p</math>는 ''p''-막의 세계부피 형식이다.

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=black brane|title=Black brane}}

{{전거 통제}}

[[분류:일반 상대성이론]]
[[분류:끈 이론]]