거리 공간 문서 원본 보기

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[[수학]]에서 '''거리 공간'''(距離空間, {{llang|en|metric space}})은 두 점 사이의 거리가 정의된 공간이다. 거리의 정의에 따라 표준적인 [[위상 공간 (수학)|위상]]을 갖는다.

== 정의 ==
집합 <math>X</math> 위의 '''거리 함수'''(距離函數, {{llang|en|metric function}})는 다음 조건을 만족시키는 함수
:<math>d\colon X \times X \to[0,\infty)</math>
이다.
* (구분 불가능한 점의 동일성) 임의의 <math>x,y\in X</math>에 대하여, <math>d(x,y) = 0 \iff x = y </math>
* ([[대칭관계|대칭성]]) 임의의 <math>x,y\in X</math>에 대하여, <math>d(x,y) = d(y,x)</math>
* (삼각 부등식, {{llang|en|triangle inequality}}) 임의의 <math>x,y,z\in X</math>에 대하여, <math>d(x,y) + d(y,z) \ge d(x,z)</math>
마지막 두 공리는 다음과 같은 하나의 공리로 대체시킬 수 있다.
* (삼각 부등식) <math>d(z,y) + d(y,x) \ge d(x,z)</math>
여기서 <math>z=y</math>로 잡으면 <math>d(y,x)=d(x,y)</math>가 되어, 대칭 공리를 얻는다. 거리 함수의 정의에서, 첫째 조건을 <math>d(x,y)=0\Longleftarrow x=y</math>로 약화시키면 '''[[유사 거리 함수]]'''의 개념을 얻는다.

'''거리 공간''' <math>(X,d)</math>은 거리 함수가 주어진 집합이다.

=== 거리 공간의 특별한 집합 ===
{{본문|공 (수학)}}
거리 공간 <math>X</math>에서, 점 <math>x\in X</math>를 중심으로 하는, 반지름이 <math>r\in\mathbb R^+</math>인 '''열린 공''' <math>B_r(x)</math>는 다음과 같다.(저자에 따라서는 <math>B(x,r)</math>로 적기도 한다.)
:<math>B_r(x)=\{y\in X\colon d(x,y)<r\}</math>
점 <math>x\in X</math>를 중심으로 하는, 반지름이 <math>r\in\mathbb R^+</math>인 '''닫힌 공''' <math>\bar B_r(x)</math>는 다음과 같다.
:<math>\bar B_r(x)=\{y\in X\colon d(x,y)\le r\}</math>

거리 공간 <math>X</math>의 '''[[유계 집합]]''' <math>S\subset X</math>는 다음 조건을 만족시키는 부분 집합이다.
* <math>\sup\{d(x,s)\colon s\in S\}<\infty</math>인 점 <math>x\in X</math>가 존재한다.

=== 거리 위상 ===
거리 공간 <math>(X,d)</math>의 '''거리 위상'''(距離位相, {{llang|en|metric topology}})은 열린 공들을 [[기저 (위상수학)|기저]]로 하는 [[위상 공간 (수학)|위상]]이다. 즉, 거리 위상에서의 [[열린집합]]은 다음 조건을 만족시키는 [[부분 집합]] <math>U\subset X</math>이다.
:모든 <math>x\in U</math>에 대하여, <math>B(x,r_x)\subset U</math>인 <math>r_x>0</math>가 존재한다.
거리 위상은 거리 함수 <math>d\colon X\times X\to[0,\infty)</math>를 [[연속 함수]]로 만드는 가장 [[엉성한 위상]]이자, 함수 집합 <math>(d(x,-)\colon X\to[0,\infty))_{x\in X}</math>의 [[시작 위상]]이다. 모든 거리 공간은 거리 위상을 통해 표준적으로 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]을 이룬다.

=== 완비 거리 공간 ===
{{본문|완비 거리 공간}}
모든 [[코시 수열]]이 극한을 갖는 거리 공간을 '''[[완비 거리 공간]]'''이라고 한다.

=== 지름 ===
거리 공간 <math>(X,d)</math>의 '''지름'''({{llang|en|diameter}}) <math>\operatorname{diam}X</math>는 그 속의 두 점 사이의 가능한 거리들의 [[상한]]이다.
:<math>\operatorname{diam}X=\sup_{x,y\in X}d(x,y)\in[0,\infty]</math>
마찬가지로, 거리 공간의 부분 공간은 거리 공간을 이루므로 그 지름을 정의할 수 있다.

지름이 유한한 거리 공간을 '''[[유계 집합|유계 공간]]'''이라고 한다.

== 성질 ==
거리 공간 <math>(X,d)</math>의 임의의 부분 집합 <math>Y\subseteq X</math>에 대하여, <math>(Y,d|_{Y\times Y})</math>는 거리 공간을 이룬다.

=== 위상수학적 성질 ===
{{본문|거리화 가능 공간}}
모든 거리 공간은 다음 성질들을 만족시킨다.
* [[하우스도르프 공간]]이다.
* [[파라콤팩트 공간]]이다.
* [[T6 공간|T<sub>6</sub> 공간]]이다.
* [[제1 가산 공간]]이다.
거리 공간 <math>(X,d)</math>에 대하여, 다음 조건들이 서로 [[동치]]이다.
* <math>X</math>는 [[분해 가능 공간]]이다.
* <math>X</math>는 [[제2 가산 공간]]이다.
* <math>X</math>는 [[린델뢰프 공간]]이다.

== 예 ==
* 실수 <math>\mathbb{R}</math>에서, 거리가 [[절댓값]]을 이용하여, <math>d(x,y) = |x-y|</math>로 정의되었을 때, <math>(\mathbb{R}, d)</math>는 완비 거리 공간이다.
* 유리수의 집합 <math>\mathbb Q\subset\mathbb R</math>은 실수 거리 공간의 부분 공간으로서 거리 공간을 이룬다. 그러나 이는 완비 거리 공간이 아니다.
* [[유클리드 공간]]에서, <math>\mathbb{R}^n</math>에서, 거리를 <math>d(x,y) = \sqrt{ \sum_{i=1}^n (x_i - y_i)^2 }</math>로 정의하면, <math>(\mathbb{R}^n, d)</math>는 거리 공간이다. 이렇게 정의된 거리를 '''유클리드 거리''', 이 공간을 '''n차원 [[유클리드 공간]]'''이라 하며, 보통 자연과학에서 말하는 거리는 이 정의를 따른다. 이는 완비 거리 공간을 이룬다.
* <math>\mathbb{R}^n</math>에서 <math>d_0(x - y) = \max_{1 \le i \le n}{|x_i - y_i|}</math>을 거리로 정의하면, <math>(\mathbb{R}^n, d_0)</math>는 거리공간이다. 이처럼 같은 집합에 대하여 정의가 가능한 거리는 유일하지 않다. 그러나 두 가지 거리 함수는 같은 위상을 정의한다.

[[노름 공간]] <math>(V,\Vert\cdot\Vert)</math>에 대하여, 거리 함수를
:<math>d(x,y)=\|x-y\|</math>
로 정의한다면, <math>(V,d)</math>는 거리 공간이다. 마찬가지로, 노름 공간 <math>(V,\Vert\cdot\Vert)</math>에 대하여 거리 함수를
:<math>d_{\text{post}}(x,y)=\|x\|+\|y\|</math>
로 정의한다면, <math>(V,d_{\text{post}})</math>는 거리 공간이다. 이 거리 함수를 '''우체국 거리'''({{llang|en|post-office metric}})라고 한다.

임의의 [[연결 공간|연결]] [[리만 다양체]] <math>(M,g)</math>에 대하여, 거리 함수를
:<math>d(x,y)=\inf_{\gamma\in C^1([0,1],M)}\int_0^1\sqrt{g^{-1}(\gamma'(s),\gamma'(s))}\,ds</math>
로 정의한다면, <math>(M,d)</math>는 거리 공간이다.

임의의 [[집합]] <math>X</math> 및 양의 실수 <math>r</math>에 대하여,
:<math>d(x,y)=\begin{cases}0&x=y\\r&x\ne y\end{cases}</math>
는 [[초거리 함수]]를 이룬다. 이를 '''[[이산 거리 함수]]'''라고 한다.

임의의 [[연결 그래프]] <math>G</math>에 대하여, 두 꼭짓점 사이의 거리를 이 두 점을 잇는 [[경로 (그래프 이론)|경로]]들의 길이의 최솟값으로 정의한다면, 이는 꼭짓점들의 집합 위의 거리 함수를 이룬다.

== 참고 문헌 ==
{{위키공용분류}}
* {{서적 인용|이름=Victor|성=Bryant|제목=Metric Spaces: Iteration and Application|출판사=Cambridge University Press|날짜=1985-05|isbn=978-052131897-6|url=http://www.cambridge.org/us/academic/subjects/mathematics/abstract-analysis/metric-spaces-iteration-and-application|언어=en}}
* {{서적 인용|이름=Mícheál|성=Ó Searcóid|url=http://mathsci.ucd.ie/~mos/Books/Metric_Spaces |제목=Metric Spaces|총서=Springer Undergraduate Mathematics Series|issn=1615-2085|날짜=2006|isbn=978-1-84628-369-7|doi=10.1007/978-1-84628-627-8|출판사=Springer|언어=en}}

== 같이 보기 ==
* [[등거리변환]]
* [[리만 계량]], [[리만 다양체]]
* [[거리화 가능 공간]]
* [[초거리 공간]]
* [[길이 거리 공간]]

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Metric space}}
* {{eom|title=Metric}}
* {{매스월드|id=MetricSpace|title=Metric space}}
* {{매스월드|id=Metric|title=Metric}}

{{전거 통제}}

[[분류:거리 공간| ]]
[[분류:계량기하학]]