거듭제곱근 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[수학]]에서, '''거듭제곱근'''은 [[거듭제곱]]의 역연산이다. '''승근'''(乘根), '''누승근'''(累乘根) 또는 '''멱근'''(冪根)이라고도 한다. 구체적으로, 만약 <math>x^n=a</math>이라면, <math>x</math>가 <math>a</math>의 <math>n</math>제곱근이라고 한다. <math>a^2,a^3,a^4,a^5,\dots,a^n\dots</math>(<math>{}=a</math>의 [[제곱]], <math>a</math>의 [[세제곱]], <math>a</math>의 네제곱, <math>a</math>의 다섯제곱, ..., <math>a</math>의 <math>n</math>제곱, ...)을 통틀어 <math>a</math>의 [[거듭제곱]]이라고 하는 것처럼, <math>a</math>의 [[제곱근]], <math>a</math>의 [[세제곱근]], <math>a</math>의 네제곱근, <math> a</math>의 다섯제곱근, ... <math>a</math>의 <math>n</math>제곱근, ...을 통틀어 <math>a</math>의 거듭제곱근이라고 한다.

== 정의 ==
양의 정수 <math>n</math>이 주어졌다고 하자. [[실수]] 또는 [[복소수]] <math>a</math>의 '''<math>n</math>제곱근'''({{llang|en|n-th root}})은
:<math>x^n=a</math>
인 실수 또는 복소수 <math>x</math>를 일컫는다. 여기서
:<math>x^n=\underbrace{x\times x\times\cdots\times x}_n</math>
은 <math>x</math>의 [[거듭제곱|<math>n</math>제곱]]이다.

=== 실수의 거듭제곱근 ===
임의의 실수 또는 복소수의 <math>n</math>제곱근은 (중복도를 감안할 때) 복소수 범위에서 <math>n</math>개가 있으며, <math>a\ne0</math>인 경우 이들은 서로 다르다. 실수 <math>a\in\mathbb R</math>의 경우, 그 가운데 하나
:<math>\sqrt[n]a\in\mathbb R</math>
를 다음과 같이 고를 수 있다. 만약 <math>a=0</math>인 경우, 0의 <math>n</math>제곱근은 0으로 유일하다.
:<math>\sqrt[n]0=0</math>
만약 <math>a\ne0</math>이며, <math>n</math>이 [[홀수]]라면, <math>a</math>의 <math>n</math>제곱근 가운데 실수인 하나 <math>\sqrt[n]a\in\mathbb R</math>가 유일하게 존재한다. 구체적으로, [[실수의 완비성]]을 사용하여, 특정 부분 집합의 [[상한과 하한|상한 또는 하한]]으로 정의할 수 있다.
:<math>\begin{align}
\sqrt[n]a
 &= \sup\{x\in\mathbb R\colon x^n<a\} \\
 &= \inf\{x\in\mathbb R\colon x^n>a\}
\end{align}
</math>
만약 <math>a>0</math>이며, <math>n</math>이 [[짝수]]라면, <math>a</math>의 <math>n</math>제곱근 가운데 실수인 것은 둘이 존재하며, 서로 덧셈 [[역원]]이다. 이 가운데 양의 실수인 하나를 <math>\sqrt[n]a</math>로 정의하자. 그렇다면 나머지 하나는 <math>-\sqrt[n]a</math>이다. <math>\sqrt[n]a</math>의 구체적인 표현은 다음과 같다.
:<math>\begin{align}
\sqrt[n]a
 &= \sup\{x\in\mathbb R^+\colon x^n<a\} \\
 &= \inf\{x\in\mathbb R^+\colon x^n>a\}
\end{align}
</math>
만약 <math>a<0</math>이며, <math>n</math>이 [[짝수]]라면, <math>a</math>의 <math>n</math>개의 <math>n</math>제곱근은 모두 실수가 아니다. <math>a</math>는 실수이므로, 복소수이다. 따라서, 복소수의 특별한 <math>n</math>제곱근을 고르는 방법을 사용한다.

=== 복소수의 거듭제곱근 ===
복소수 <math>a\in\mathbb C</math>의 <math>n</math>제곱근은 (중복도를 감안할 때) 복소수 범위에서 총 <math>n</math>개가 있으며, <math>a\ne0</math>인 경우 이들은 서로 다르다. 이 가운데 하나가
:<math>\sqrt[n]a\in\mathbb C</math>
라면, <math>n</math>개의 거듭제곱근들은 다음과 같다.
:<math>\sqrt[n]a\mathrm e^{2k\pi\mathrm i/n}\qquad(k=0,1,\dots,n-1)</math>
특별한 거듭제곱근 <math>\sqrt[n]a</math>를 고르는 방법은 유일하지 않다. 0이 아닌 복소수 <math>a\in\mathbb C\setminus\{0\}</math>를 그 [[절댓값]] <math>|a|</math>과 [[편각 (수학)|편각]] <math>\arg a</math>를 사용하여
:<math>a=|a|\mathrm e^{\mathrm i\arg a}</math>
로 나타내자. 절댓값 <math>|a|</math>은 음이 아닌 실수이므로, 그 표준적인 실수 거듭제곱근 <math>\sqrt[n]{|a|}</math>를 고를 수 있다. 이 경우, <math>a</math>의 모든 <math>n</math>제곱근은 다음과 같다.
:<math>\sqrt[n]{|a|}\mathrm e^{\mathrm i(\arg a+2k\pi)/n}\qquad(k=0,1,\dots,n-1)</math>
또한, <math>a</math>의 표준적인 거듭제곱근을 다음과 같이 고를 수 있다.
:<math>\sqrt[n]a=\sqrt[n]{|a|}\mathrm e^{\mathrm i\arg a/n}</math>
얼핏 <math>\sqrt[n]a</math>를 고르는 방법을 유일하게 결정한 것처럼 보이지만, 편각의 선택은 유일하지 않으므로 <math>\sqrt[n]a</math>를 고르는 방법은 유일하지 않다. 예를 들어, 편각
:<math>\arg a\in(-\pi,\pi]</math>
에 대한 거듭제곱근과
:<math>\arg a\in[0,2\pi)</math>
에 대한 거듭제곱근은 일반적으로 다르다.

=== 용어와 표기법 ===
작은 <math>n</math>에 대한 거듭제곱근은 다음과 같다.
* 만약 <math>n=2</math>인 경우, <math>a</math>의 <math>n</math>제곱근을 <math>a</math>의 '''[[제곱근]]'''이라고 하며, <math>\sqrt[2]a</math> 대신 <math>\sqrt a</math>라고 쓴다.
* 만약 <math>n=3</math>인 경우, <math>a</math>의 <math>n</math>제곱근을 <math>a</math>의 '''[[세제곱근]]''' <math>\sqrt[3]a</math>이라고 한다.
* 만약 <math>n=4</math>인 경우, <math>a</math>의 <math>n</math>제곱근을 <math>a</math>의 '''네제곱근'''({{llang|en|fourth root}}) <math>\sqrt[3]a</math>이라고 한다.
* 만약 <math>n=5</math>인 경우, <math>a</math>의 <math>n</math>제곱근을 <math>a</math>의 '''다섯제곱근'''({{llang|en|fifth root}}) <math>\sqrt[3]a</math>이라고 한다.

거듭제곱근 <math>\sqrt[n]a</math>은 [[거듭제곱]]을 사용하여
:<math>a^{1/n}</math>
이라고 쓸 수 있다.

== 성질 ==
음이 아닌 실수의 거듭제곱근의 경우, 다음과 같은 항등식들이 성립한다.
:<math>\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]a\cdot\sqrt[n]b</math>
:<math>\sqrt[n]{\frac ab}=\frac{\sqrt[n]a}{\sqrt[n]b}\qquad(b\ne0)</math>
그러나, 이는 음의 실수나 복소수의 거듭제곱근에서 성립하지 않는다. 예를 들어,
:<math>\sqrt{(-1)\cdot(-1)}=\sqrt1=1</math>
이지만,
:<math>\sqrt{-1}\cdot\sqrt{-1}=-1</math>
이다.

=== 갈루아 군 ===
[[체 (수학)|체]] <math>K</math>가 주어졌다고 하자. 양의 [[홀수]] <math>n</math>이 주어졌고, <math>\operatorname{char}K\nmid n</math>이며, <math>\zeta_n</math>이 1의 원시 <math>n</math>제곱근이라고 하자. 또한, 체의 원소 <math>a\in K</math>가 주어졌으며, 임의의 [[소수 (수론)|소수]] <math>p\mid n</math>에 대하여 <math>K</math>가 <math>a</math>의 <math>p</math>제곱근을 포함하지 않는다고 하자. 그렇다면, <math>a</math>의 <math>n</math>제곱근들을 근으로 하는 다항식 <math>x^n-a\in K[x]</math>의 [[분해체]] <math>K(\sqrt[n]a,\zeta_n)</math>의 [[갈루아 군]]은 다음과 같다.<ref name="Lang">{{서적 인용|성=Lang|이름=Serge|저자링크=서지 랭|제목=Algebra|언어=en|판=개정 3|총서=Graduate Texts in Mathematics|권=211|출판사=Springer|위치=[[뉴욕]]|날짜=2002|issn=0072-5285|isbn=978-1-4612-6551-1|doi=10.1007/978-1-4613-0041-0|zbl=0984.00001|mr=1878556|id={{구글 도서 식별자|Fge-BwqhqIYC}}}}</ref>{{rp|300, Theorem 9.4}}
:<math>\operatorname{Gal}(K(\sqrt[n]a,\zeta_n)/K)\cong\mathbb Z/n\rtimes(\mathbb Z/n)^\times</math>
구체적으로, <math>c\in\mathbb Z/n</math> 및 <math>d\in(\mathbb Z/n)^\times</math>의 [[순서쌍]]에 대응하는 자기 동형 사상은 다음과 같다.
:<math>\sqrt[n]a\mapsto a\zeta_n^c</math>
:<math>\zeta_n\mapsto\zeta_n^d</math>

== 예 ==
<math>2^3=8</math>이다. 따라서,
:<math>\sqrt[3]8=2</math>
이다. 이는 8의 유일한 실수 세제곱근이다. 8의 세제곱근은 3개가 있으며, 이는 다음과 같다.
:<math>2,2\mathrm e^{2\pi/3},2\mathrm e^{4\pi/3}</math>

<math>3^4=81</math>이다. 따라서,
:<math>\sqrt[4]{81}=3</math>
이다. 81의 실수 네제곱근은 3과 −3 둘이다. 81의 네제곱근은 4개가 있으며, 다음과 같다.
:<math>3,3\mathrm i,-3,-3\mathrm i</math>

== 참고 문헌 ==
<references/>

== 외부 링크 ==
* {{웹 인용|제목=거듭제곱근|웹사이트=두산백과|url=https://www.doopedia.co.kr/doopedia/master/master.do?_method=view&MAS_IDX=101013000708715}}

{{전거 통제}}

[[분류:초등대수학]]