강압 쌍선형 형식 문서 원본 보기

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[[함수해석학]]에서 '''강제 쌍선형 형식'''(強壓雙線型形式, {{llang|en|coercive bilinear form}})은 그 대각 성분들이 양의 [[하한]]을 갖는, [[실수 힐베르트 공간]] 위의 [[유계 작용소|유계]] [[쌍선형 형식]]이다.

== 정의 ==
[[실수 힐베르트 공간]] <math>V</math> 위의 [[연속 함수|연속]] [[쌍선형 형식]]
:<math>B\colon V\otimes_{\mathbb R}V\to\mathbb R</math>
가 다음 조건들을 만족시킨다면 '''강제 쌍선형 형식'''이라고 한다.
:<math>\inf_{v\in V\setminus\{0\}}\frac{B(v,v)}{\|v\|^2}>0</math>
(일반적으로 [[노름 공간]] <math>V\otimes_{\mathbb R}V</math>는 [[완비 거리 공간]]이 아니어서 [[힐베르트 공간]]이 아닐 수 있다.)

여기서, 두 [[노름 공간]] 사이의 [[선형 변환]]의 경우 연속성은 [[유계 작용소]]인 것과 동치이므로, 연속성 조건은 다음과 같이 적을 수 있다.
:<math>\sup_{u,v\in V\setminus\{0\}}\frac{B(u,v)}{\|u\|\|v\|}<\infty</math>

== 성질 ==
다음이 주어졌다고 하자.
* [[실수 힐베르트 공간]] <math>V</math>
* 강제 연속 [[쌍선형 형식]] <math>B\colon V\otimes_{\mathbb R}V\to\mathbb R</math>
'''럭스-밀그램 정리'''(Lax-Milgram定理, {{llang|en|Lax–Milgram theorem}})에 따르면, 임의의 <math>v,w\in V</math>에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 <math>u\in V</math>가 유일하게 존재한다.<ref>{{서적 인용|성=Evans|이름=Lawrence C.|제목=Partial differential equations|판=2|url=http://bookstore.ams.org/gsm-19-r|총서=Graduate Studies in Mathematics|권=19|날짜=2010|언어=en|확인날짜=2017-01-24|보존url=https://web.archive.org/web/20170202175724/http://bookstore.ams.org/gsm-19-r|보존날짜=2017-02-02|url-status=dead}}</ref>{{rp|Theorem 6.2.1, 317–319}}
:<math>B(u,v)=\langle w,v\rangle</math>
또한, 다음이 성립한다.
:<math>\|u\| \le \frac{\|w\|}{\inf_{v\in V\setminus\{0\}}B(v,v)/\|v\|^2} </math>
<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''증명:'''
<div class="mw-collapsible-content">
[[리스 표현 정리]]에 따른 표준적인 동형
:<math>\iota\colon V'\to V</math>
:<math>\iota\colon \langle v,-\rangle\mapsto v</math>
를 생각하자. (여기서 <math>V'</math>은 <math>V</math>의 [[연속 쌍대 공간]]이다.)

임의의 <math>a\in V</math>에 대하여,
:<math>B(a,-)\colon\mathcal H\to\mathcal H</math>
는 [[유계 작용소]]이다. 따라서
:<math>\iota(B(a,-))\in V</math>
를 정의할 수 있다. 이는 함수
:<math>A\colon V\to V</math>
:<math>A\colon a\mapsto \iota(B(a,-))</math>
를 정의한다. 이는 [[실수 선형 변환]]임을 쉽게 확인할 수 있으며, 또한
:<math>\forall v\in V\colon
\|Av\|^2=\langle Av,Av\rangle=B(v,Av)
\le \|B\|\|v\|\|Av\|
</math>
이므로
:<math>\|A\|\le \|B\|</math>
이며, <math>A</math> 역시 유계 작용소이다. (여기서 <math>\|B\|</math>는 <math>V\otimes_{\mathbb R}V\to\mathbb R</math> [[작용소 노름]]이다.)

또한,임의의 <Math>v\in V</math>에 대하여, 강제성에 의해 어떤 양의 실수 <math>C>0</math>에 대하여
:<math>C\|v\|^2\le B(v,v)=\langle Av,v\rangle\le \|Av\|\|v\|</math>
이므로, 특히
:<math>C\|v\|\le \|Av\|</math>
이다. 이에 따라 <math>\ker A=\{0\}</math>이며, <math>A</math>는 [[단사 함수]]이며, 또한 <math>A</math>의 [[치역]]은 [[닫힌집합]]이다.

이제, <math>A</math>가 [[전사 함수]]임을 보이면 족하다. <math>A</math>의 [[치역]]이 [[닫힌집합]]이므로, 임의의 <math>(AV)^\perp=\{0\}</math>임을 보이면 족하다. 임의의 <math>a\in(AV)^\perp</math>에 대하여,
:<math>C\|a\|^2\le B(a,a)=\langle Aa,a\rangle=0</math>
이므로 <math>a=0</math>이다.
</div></div>

== 역사 ==
럭스-밀그램 정리는 [[럭스 페테르]]와 아서 노턴 밀그램({{llang|en|Arthur Norton Milgram}}, 1912~1961)이 1954년에 증명하였다.<ref>{{서적 인용|이름= Peter David|성=Lax|저자링크=럭스 페테르|이름2=Arthur Norton|성2=Milgram|장=Parabolic equations|제목= Contributions to the theory of partial differential equations|총서=Annals of Mathematics Studies|권=33|날짜=1954|쪽=167–190|mr=0067317|zbl=0058.08703|doi=10.1515/9781400882182-010|언어=en}}</ref>

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Coerciveness inequality}}
* {{eom|title=Lax-Milgram lemma}}
* {{eom|title=Babuska-Lax-Milgram theorem}}
* {{매스월드|id=CoerciveFunctional|title=Coercive functional}}
* {{매스월드|id=Lax-MilgramTheorem|title=Lax-Milgram theorem}}
* {{매스월드|id=StampacchiaTheorem|title=Stampacchia theorem|이름=Christopher|성=Stover}}

[[분류:선형대수학]]
[[분류:함수해석학]]
[[분류:함수의 종류]]