값매김환 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[추상대수학]]에서 '''값매김환'''(-環, {{llang|en|valuation ring}}) 또는 '''부치환'''(賦値環)은 [[정수]]의 환의 [[국소화 (환론)|국소화]] <math>\mathbb Z_{(p)}</math>와 유사한 성질을 가지는 [[정역]]이다.

== 정의 ==
정역 <math>D</math> 위의 '''값매김'''({{llang|en|valuation}}) <math>(\Gamma,\le,\nu)</math>은 다음과 같은 [[순서쌍]]이다.
* [[아벨 군]] <math>\Gamma</math>. 이를 '''값군'''(값群, {{llang|en|value group}})이라고 한다.
* <math>\Gamma</math> 위의 [[전순서]] <math>\le\subseteq \Gamma^2</math>
* [[군 준동형]] <math>\nu\colon(\operatorname{Frac}D)^\times\to \Gamma</math>
이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.
* (전순서의 병진 불변성) 임의의 <math>g,h,k\in\Gamma</math>에 대하여, <math>g\le h</math>라면 <math>g+k\le h+k</math>이다.
* <math>D=\{x\in(\operatorname{Frac}D)^\times\colon0\le\nu(x)\}\cup\{0\}</math>

<math>D</math>가 [[정역]]이고, 그 [[분수체]]가 <math>\operatorname{Frac}D</math>이라고 하자. 그렇다면 다음 조건들이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 정역을 '''값매김환'''이라고 한다.
* 임의의 <math>x\in\operatorname{Frac}D</math>에 대하여, <math>x=0</math>이거나 <math>x\in D</math>이거나 <math>x^{-1}\in D</math>이다.
* [[베주 정역]]이자 [[국소환]]이다.
* <math>D</math>의 [[아이디얼]]들은 포함 관계에 대하여 [[전순서 집합]]을 이룬다.
* <math>D</math>의 [[주 아이디얼]]들은 포함 관계에 대하여 [[전순서 집합]]을 이룬다.
* 임의의 <math>a,b\in D</math>에 대하여, <math>a\mid b</math>이거나 <math>b\mid a</math>이다.
* 적어도 하나 이상의 값매김을 갖는다.

임의의 값매김환 <math>D</math>에 대하여, 다음과 같은 표준적인 값매김을 정의할 수 있다.
:<math>\Gamma=(\operatorname{Frac}D)^\times/D^\times</math>
:<math>\nu\colon(\operatorname{Frac}D)^\times\to G</math>
:<math>\nu\colon x\mapsto[x]=x+D^\times</math>
:<math>[x]\le [y]\iff xy^{-1}\in D</math>
즉, 값군 <math>G</math>는 분수체 가역원군의, 정역 가역원군에 대한 [[몫환]]이며, 값매김 <math>\nu</math>는 몫환의 자연스러운 사영 준동형이며, 값군에서 양의 원소들은 <math>(D\setminus\{0\})/D^\times</math>이다.

또한, 통상적으로 <math>\nu(0)=\infty</math>이며, <math>\nu(0)>\nu(a)\forall a\ne0</math>이라고 하자. 그렇다면 값매김 <math>\nu</math>는 다음과 같은 성질을 만족한다.
* <math>\nu(ab)=\nu(a)+\nu(b)</math>
* <math>\nu(a+b)\ge\min\{\nu(a),\nu(b)\}</math>
* <math>\nu(a)=\infty</math>일 필요충분조건은 <math>a=0</math>
이 가운데, 두 번째는 [[삼각 부등식]] <math>-|a+b|\ge-|a|-|b|</math>를 강화한 것이다.

== 성질 ==
모든 값매김환은 [[국소환]]이며, [[베주 정역]]이다.

값매김환에 대하여, 다음 세 조건이 서로 [[동치]]이다.
* [[뇌터 환]]이다.
* [[주 아이디얼 정역]]이다.
* [[체 (수학)|체]]이거나 아니면 [[이산 값매김환]]이다.

=== 값매김환의 아이디얼 ===
값매김 <math>(\Gamma,\nu)</math>를 갖춘 값매김환 <math>D</math>의 [[아이디얼]]은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

값군 <math>\Gamma</math>의 '''선분'''({{llang|en|segment}})은 다음 조건을 만족시키는 [[부분 집합]] <math>\Delta\subseteq\Gamma</math>이다.
* 임의의 <math>\delta\in\Delta</math>에 대하여, <math>[-\delta,\delta]\subseteq\Delta</math>이다. 여기서 <math>[,]</math>는 [[전순서]]에 대한 [[닫힌구간]]이다.
값군 <math>\Gamma</math>의 '''고립 부분군'''({{llang|en|isolated subgroup}})은 선분이자 [[부분군]]인 진부분 집합이다.

<math>D</math>의 진 아이디얼 <math>\mathfrak a\subsetneq D</math>에 대하여, 다음과 같은 함수를 생각하자.
:<math>\mathfrak a\mapsto\Gamma\setminus\bigcup_{a\in\mathfrak a\setminus\{0\}}\{\nu(a),-\nu(a)\}</math>
그렇다면, 이 함수는 다음과 같은 성질을 가진다.
* 이 함수는 <math>D</math>의 진 아이디얼들과, <math>\Gamma</math>의 선분들 사이의 [[일대일 대응]]을 정의한다.
* 이 함수는 <math>D</math>의 영 아이디얼이 아닌 [[소 아이디얼]]들과, <math>\Gamma</math>의 고립 부분군들 사이의 [[일대일 대응]]을 정의한다.

== 예 ==
=== 유리형 함수 ===
원점에서 [[극점 (복소해석학)|극점]]을 갖지 않는, 복소평면 위의 [[유리형 함수]]들의 환은 값매김환이며, 그 분수체는 모든 복소 평면 위의 [[유리형  함수]]들의 체다. 이 경우, 값매김은 원점에서의 영점의 계수 (또는 극점의 계수 × &minus;1)이다.

=== 정수환의 국소화 ===
<math>p</math>가 임의의 [[소수 (수론)|소수]]라고 하자. 그렇다면 [[국소화 (환론)|국소화]] <math>\mathbb Z_{(p)}</math>는 [[이산 값매김환]]이며, 그 분수체는 [[유리수체]] <math>\mathbb Q</math>, 값매김군은 <math>\mathbb Z\cong\{p^n\colon n\in\mathbb Z\}</math>이다. 이 경우, 그 값매김은 <math>\nu(p^n(a/b))=n</math> (<math>a,b</math>는 <math>p</math>와 [[서로소]])가 된다. 이를 '''p진 값매김'''({{llang|en|''p''-adic valuation}})이라고 하며, 이는 [[대수적 수론]]에서 [[오스트롭스키 정리]]에 따라 [[유리수체]]의 유한 [[자리 (수론)|자리]]들을 구성한다.

=== p진 정수환 ===
[[p진 정수]] <math>\mathbb Z_p</math>들의 [[가환환]]은 [[이산 값매김환]]이며, 그 분수체는 [[p진수체]] <math>\mathbb Q_p</math>다.

=== 체 ===
모든 체는 값매김환이다. 체 <math>K</math>의 경우 값매김군은 [[자명군]]이다. 자명군의 선분은 <math>[0,0]=\{0\}</math>밖에 없으며, 이는 체의 영 아이디얼에 대응한다. 자명군은 고립 부분군을 갖지 않는데, 이는 체의 소 아이디얼이 영 아이디얼밖에 없음과 대응한다.

=== 형식적 멱급수환 ===
{{본문|형식적 멱급수}}
임의의 체 <Math>K</math>에 대하여, 1변수 [[형식적 멱급수환]] <math>K[[x]]</math>은 값매김환이다. 그 분수체는 [[형식적 로랑 급수]]의 체 <math>K((x))</math>이며, 그 위의 값매김은 다음과 같다.
:<math>\nu\left(\sum_{i\in\mathbb Z}p_ix^i\right) = \min\{i\in \mathbb Z \colon p_i \ne 0\}</math>
(형식적 로랑 급수의 정의에 따라 우변은 유한하다.)

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=ValuationRing|title=Valuation ring}}

{{전거 통제}}

[[분류:가환대수학]]
[[분류:체론]]