감쇠비 문서 원본 보기

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'''감쇠비'''(減衰比, damping ratio)는 보통 &zeta; (제타)로 표시되는 이계 [[상미분 방정식]]의 주파수 응답 특성을 나타내는 값이다.

질량 m, [[감쇠진동|감쇠]]계수 c, 강성 k인 감쇠조화진동계의 감쇠비는 다음과 같다.
:<math> \zeta  = \frac{c}{2 \sqrt{km}} = \frac{c}{2m \omega_n }</math>

== 미분방정식에서 감쇠비의 의미 ==
감쇠조화진동의 지배방정식은 다음과 같다.
:<math> m\ddot x + c \dot x + kx = 0  ,</math>이것을 <math> \ddot x</math>항의 계수<math>m</math>으로 나머지 항들을 나누고,
:<math> \ddot x + {c \over m} \dot x + {k \over m}x = 0  ,</math> 계속해서,
고유진동수 <math>\,\omega_n = \sqrt{k \over m}\,</math>와 감쇠비<math>\, 2\zeta\omega_n= {c \over m}\,</math> <!-- <math>\, \ddot x + 2\zeta\omega_n\,</math> -->를 도입하고, 소멸미분연산자(Annihilated Differential Operator)를 대입하면,

<math> x=e^{sx},  \dot x=se^{sx}, \ddot x=s^2 e^{sx} \, </math>로 가정하면,
:<math>s^2 e^{sx}+{c \over m} s e^{sx}+{k \over m}e^{sx} = 0 </math>
:<math>e^{sx}(s^2 +{c \over m} s +{k \over m})= 0 </math>
:<math> </math>따라서, 특성방정식은 다음과 같다.
:<math> s^2 + 2\zeta \omega_n s + \omega_n^2 = 0</math>

<math> s </math>의 해를 찾으려면 2차 방정식에 근의 공식을 대입하면,
:<math> s = \frac{- 2\zeta \omega_n \pm \sqrt{(2\zeta \omega_n)^2 - 4 \omega_n^2}}{2}</math>


:<math> s = - \zeta \omega_n \pm \frac{ \sqrt{2^2\zeta^2 \omega_n^2 - 2^2 \omega_n^2}}{\sqrt{2^2}}</math>

이를 정리하면,

:<math> s = - \zeta \omega_n \pm \omega_n \sqrt{\zeta^2 - 1}</math>
=== 과감쇠(과도감쇠) ===
특성방정식이 두 개의 실근이 있을 때를 '''과(도)감쇠'''(overdamped)라고 하며, 이때 응답은 [[지수]]로 감소하며, 진동은 발생하지 않는다.
:<math> x(t) = e^{-\zeta \omega_n t} \left[ Ae^{\sqrt{\zeta^2 - 1} \omega_n t} + Be^{-\sqrt{\zeta^2 - 1} \omega_n t} \right] </math>

여기서 A와 B는 초기조건에서 결정되는 상수이다.

=== 임계감쇠 ===
'''임계감쇠'''(critically damped)는 감쇠비 <math>\zeta = 1</math>인 경우로 특성방정식은 하나의 실근(중근)을 가지며, 과감쇠와 저감쇠의 경계가 된다. 과감쇠와 마찬가지로 응답이 지수로 감소하며, 진동이 발생하지 않는다.

초기조건 <math>x(0) = x_0</math>, <math>\dot x(0) = \dot x_0</math>을 갖는 임계감쇠일 땐 미분방정식의 해는 다음과 같다.
:<math> x(t) = e^{-\omega_n t} \left[ x_0+t^2 + \dot x_0 t \right]</math>

=== 저감쇠(과소감쇠) ===
특성방정식이 두 개의 허근을 갖는 경우를 '''저감쇠(과소감쇠)'''(underdamped)라고 하며, 이 때는 진동이 발생한다. 즉, 응답은 지수로 감소함과 동시에 진동을 한다....

초기조건 <math>x(0) = x_0</math>, <math>\dot x(0) = \dot x_0</math>에 해는,
:<math> x(t) = e^{-\zeta \omega_n t} \left[ x_0 \cos {\omega_D t} + \frac{\dot x_0 + \zeta \omega_n x_0}{\omega_D} \sin {\omega_D t} \right] </math>
여기서 감쇠진동수 &omega;<sub>D</sub>는 다음과 같다.
:<math>\omega_D = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2} </math>

== 같이 보기 ==
* [[감쇠진동|감쇠]]
* [[조화진동자]]

[[분류:상미분 방정식]]