감마 함수 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:Gamma plot.svg|섬네일|300px|실수축 위에서 감마 함수의 그래프]]
{{미적분학}}
[[수학]]에서 '''감마 함수'''(Γ函數, {{llang|en|gamma function}})는 [[계승 (수학)]] 함수의 [[해석적 연속]]이다.

감마 함수의 기호는 [[감마]](Γ)라는 그리스 대문자를 사용한다.

양의 정수 n에 대하여 <math>\Gamma(n) = (n-1)!</math>이 성립한다.

== 정의 ==
[[파일:Complex gamma.jpg|섬네일|300px|오른쪽|[[복소평면]]에서의 감마 함수]]
감마 함수는 다음과 같이 여러 가지로 정의할 수 있으며, 이들은 모두 [[동치]]임을 보일 수 있다.

=== 오일러 적분 ===
감마 함수는 다음과 같은 적분으로 정의된다. 이 적분을 '''[[오일러 적분]]'''이라고 한다.
:<math> \Gamma(z) = \int _0^\infty t^{z-1}e^{-t}\,dt\qquad(\operatorname{Re}z > 0) </math>
오일러 적분은 [[상반평면]] <math>\{z\in\mathbb C\colon\operatorname{Re}z > 0\}</math> 인 영역에서 [[절대수렴]]한다. 여기에 [[해석적 연속]]을 사용해 이 함수의 정의역을 위의 [[단순극]]을 제외한 전 [[복소평면]]으로 확장할 수 있다. 이 확장된 함수를 '''감마 함수'''라 부른다.

=== 가우스 극한 ===
:<math>\Gamma(z) =\lim_{n \to \infty}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots n \over z(z+1)(z+2)\cdots(z+n)}n^z\qquad
(z \ne 0, -1, -2 ,\dots)</math>
이 정의는 오일러의 이름을 따 '''오일러 극한 형태'''라고도 불리기도 한다.

=== 바이어슈트라스 무한곱 ===
:<math>\Gamma(z) =\frac1{z\exp(\gamma z)}\prod_{n=1}^\infty\frac{\exp(z/n)}{1+ z/n} </math>
여기서 <math>\gamma</math>는 [[오일러-마스케로니 상수]]이다. 이 정의는 [[카를 바이어슈트라스]]의 이름을 따 '''바이어슈트라스 무한곱 형태'''라고도 불리기도 한다.

=== 계승의 일반화에서 주의점 ===
{{본문|보어-몰러업 정리}}
만약 감마함수를 자연수 <math>n</math>에 대해
:<math>\Gamma \left(n\right) = (n-1) !</math>
을 만족하는 함수로 정의하면 감마 함수는 유일하지 않다. 예를 들어
:<math>f(x) = \Gamma (x) \cos^2 \pi x \;</math>
또한 위 성질을 만족함을 확인할 수 있다. 감마 함수는 이중 유일하게 <math>\ln \Gamma (z) </math>가 양의 실수축상에서 [[볼록함수]]이다.

== 성질 ==
감마 함수는 정의역에서 [[정칙 함수]]이다. 즉, 다음이 성립한다.
:<math>\overline{\Gamma(z)} = \Gamma(\bar z)</math>

=== 특이점 ===
[[파일:Gamma abs.png|섬네일|300px|감마 함수의 [[절댓값]]을 나타낸 그림. 양이 아닌 정수에서 [[극점 (복소해석학)|극점]]을 갖는 것을 볼 수 있다.]]
감마 함수는 [[복소평면]]에서 [[유리형 함수]]이며, 양이 아닌 정수 <math>z=0,-1,-2,\ldots</math>에서 [[단순극]]을 가진다. 단순극 <math>-n</math>에서 [[유수 (복소해석학)|유수]]의 값은 <math>\textstyle {(-1)^n \over n!}</math>이다.<ref>George Allen, and Unwin, Ltd., ''The Universal Encyclopedia of Mathematics''. United States of America, New American Library, Simon and Schuster, Inc., 1964. (Foreword by [[James R. Newman]])</ref>
감마 함수는 영점을 갖지 않는다. 즉, 그 역수 <math>1/\Gamma(z)</math>는 [[전해석 함수]]이다.

=== 함수 방정식 ===
감마 함수는 다음과 같은 [[함수 방정식]]을 만족시킨다.
:<math>\Gamma (z+1) = z \Gamma (z)</math>
:<math>\Gamma(1-z) \; \Gamma(z) = {\pi \over \sin{(\pi z)}}</math>
두 번째 공식은 '''오일러 반사 공식'''({{llang|en|Euler’s reflection formula}})이라고 불린다.

;[[곱의 정리]]
:<math>\Gamma(z) \; \Gamma\left(z + \frac{1}{m}\right) \; \Gamma\left(z + \frac{2}{m}\right) \cdots
\Gamma\left(z + \frac{m-1}{m}\right) =
(2 \pi)^{(m-1)/2} \; m^{1/2 - mz} \; \Gamma(mz). \,\!
</math>
특히, 이 정리의 특수한 경우로 다음과 같은 두 배 공식을 유도할 수 있다.
:<math>\Gamma(z) \; \Gamma\left(z + \frac{1}{2}\right) = 2^{1-2z} \; \sqrt{\pi} \; \Gamma(2z)</math>

=== 미분과 적분 ===
감마 함수의 미분은 다음과 같이 [[폴리감마 함수]] <math>\psi_0(z)</math>로 주어진다.
:<math>\Gamma'(z)=\Gamma(z)\psi_0(z)</math>
특별히, 양수 m에서의 감마 함수의 미분은 아래와 같이 [[오일러-마스케로니 상수]] γ를 사용해 나타낼 수 있다.
:<math>\Gamma'(m+1) = m!\cdot\left(  - \gamma + \sum_{k=1}^m\frac{1}{k} \right)</math>
일반적으로, 감마 함수의 n차 미분은 다음과 같다.
:<math>{d^{n} \over (dx)^{n}}\,\Gamma(x) = \int_0^\infty t^{x-1} e^{-t} \ln^{n} t\,dt</math>
감마 함수의 극, z가 음수인 경우에서의 [[유수 (복소해석학)|유수]]의 값은 다음과 같다.
:<math>\operatorname{Res}(\Gamma,-n)=\frac{(-1)^n}{n!}</math>

=== 특별한 값 ===
[[반정수]]에서 감마 함수는 다음과 같다. 음이 아닌 정수 ''n''에 대하여,
:<math>\Gamma(1/2+n)=\frac{(2n)!}{4^nn!}\sqrt\pi</math>
:<math>\Gamma(1/2-n)=\frac{(-4)^nn!}{(2n)!}\sqrt\pi</math>
이 공식들은 <math>\Gamma(1/2)=\sqrt\pi</math>로부터 [[수학적 귀납법]]으로 유도할 수 있다.

몇몇 경우의 감마 함수의 값은 다음과 같다.
:<math>
\begin{array}{lll}
\Gamma(-3/2) &= \frac {4\sqrt{\pi}} {3} &\approx 2.363 \\
\Gamma(-1/2) &= -2\sqrt{\pi} &\approx -3.545 \\
\Gamma(1/2) &= \sqrt{\pi} &\approx 1.772 \\
\Gamma(1) &= 0! &= 1 \\
\Gamma(3/2) &= \frac {\sqrt{\pi}} {2} &\approx 0.886 \\
\Gamma(2) &= 1! &= 1 \\
\Gamma(5/2) &= \frac {3 \sqrt{\pi}} {4} &\approx 1.329 \\
\Gamma(3) &= 2! &= 2 \\
\Gamma(7/2) &= \frac {15\sqrt{\pi}} {8} &\approx 3.323 \\
\Gamma(4) &= 3! &= 6 \\
\end{array}
</math>
: <math> \Gamma\left( \tfrac{1}{4}\right) = \sqrt{ 2G \sqrt{ 2\pi^3 } } \quad , \;\; G</math>[[가우스 상수]]

== 응용 ==
감마 함수는 [[확률 분포]]를 비롯한 여러 [[확률]]과 [[통계]], [[조합론]], 그 외 여러 공학 분야들에서 유용하게 사용된다.

=== 초구의 부피 ===
{{본문|초구}}
반지름이 <math>R</math>인 <math>n</math>차원 [[초구]]의 부피는 다음과 같이 주어진다.
:<math>V_n={\pi^\frac{n}{2}\over \frac{n}{2} \Gamma(\frac{n}{2})} R^n ={C_n R^n}</math>

=== 감마분포 ===
{{본문|감마분포}}
감마 함수의 피적분 함수를 감마 함수의 적분값으로 나눈 함수를 실수의 양수축에서 적분을 하면 1이 된다. 따라서 이를 이용해 새로운 [[확률 분포|분포]]를 정의할 수 있다. 이 분포를 [[감마분포]]라 하고, 그 [[확률 밀도 함수]] <math>f(x)</math>는 다음과 같다.
:<math>f(x) =
\begin{cases}
 {1 \over \beta^\alpha \Gamma(\alpha)} x^{\alpha-1}e^{-{x \over \beta}}, & \mbox{if } x \ge 0 \\
 0, & \mbox{otherwise}
\end{cases}
</math>
여기서 <math>\alpha, \beta</math>는 감마 함수의 매개 변수로 양수이다.

== 큐-감마 함수(q-gamma function) ==
큐-감마 함수는 감마 함수가 [[큐-아날로그]]화 된것이다.

:<math>f(x+1) = {{1-q^z}\over{1-q}}f(x)</math>
:<math>q \in \left( 0,1 \right)</math> [[구간]] 예약
:<math>f(1) =1</math>
:<math></math>
:<math>\log f(x) ,x>0</math>
:<math>f(x)= \Gamma_q (x)</math>
:<math>\therefore  \Gamma_q(z)=  {{(q;q)\infty}\over{(q^z;q)\infty}}(1-q)^{1-z}\;\;\;</math> [[큐-포흐하머 기호]]<math>\; (q;q)\infty</math>

== 같이 보기 ==
* [[불완전 감마 함수]]
* [[베타 함수]]
* [[가우스 적분]]
* [[가우스 상수]]
* [[블로흐 상수]]
* [[란다우 상수]]

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{위키공용분류-줄}}
* {{eom|title=Gamma-function}}
* {{매스월드|id=GammaFunction|title=Gamma function}}
* {{웹 인용|제목=Chapter 5. Gamma Function|웹사이트=Digital Library of Mathematical Functions|이름=R. A.|성=Askey|공저자=R. Roy|날짜=2014-03-21|url=http://dlmf.nist.gov/5|출판사=NIST|언어=en}}
* {{수학노트|title=감마함수}}

{{전거 통제}}

[[분류:특수 함수]]
[[분류:유리형 함수]]
[[분류:특수 초기하함수]]
[[분류:감마 함수 및 관련 함수]]