갈릴레이 군 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
{{특수상대론|history}}
[[물리학]]과 [[수학]]에서 '''갈릴레이 군'''(Galilei群, {{llang|en|Galilean group}})은 [[뉴턴 역학]]에서 성립하는 [[시공간]]의 [[대칭군 (기하학)|대칭군]]이다. 시간 병진 변환과 공간의 병진 변환 · 회전 변환 밖에, 주어진 상대 [[속도]]에 대한 기준틀의 변환을 포함한다. [[특수 상대성이론]]에서 갈릴레이 군은 [[푸앵카레 군]]으로 대체된다.

== 정의 ==
<math>n</math>차원 공간과 1차원 시간을 갖는 공간 <math>\mathbb R\times\mathbb R^n</math> 위의 '''갈릴레이 변환'''(Galilei變換, {{llang|en|Galilean transformation}})은 다음과 같은 꼴의 함수이다.
:<math>(t,\mathbf x)\mapsto(t+s,t\mathbf v+R\mathbf x+\mathbf y),\;(s\in\mathbb R,\mathbf v\in\mathbb R^n,R\in\operatorname{SO}(n;\mathbb R))</math>
이들은 [[함수의 합성]] 아래 <math>(n+1)(n+2)/2</math>차원 [[리 군]]을 이루며, 이를 '''갈릴레이 군'''(Galilei群, {{llang|en|Galilean group}}) <math>\operatorname{Gal}(n+1)</math>이라고 한다. 갈릴레이 군은 다음과 같은 [[리 군]] [[반직접곱]]으로 나타낼 수 있다.
:<math>\operatorname{Gal}(n+1)=\mathbb R^{n+1}\rtimes\operatorname{ISO}(n;\mathbb R)</math>
여기서 <math>\operatorname{ISO}(n;\mathbb R)=\mathbb R^n\rtimes\operatorname{SO}(n)</math>은 [[유클리드 군]]이다. <math>\operatorname{ISO}(n;\mathbb R)</math>는 다음과 같은 꼴의 행렬군으로 나타낼 수 있다.
:<math>\operatorname{ISO}(n;\mathbb R)=\left\{
\begin{pmatrix}
1&\mathbf v\\
\mathbf0&R
\end{pmatrix}\colon\mathbf v\in\mathbb R^n,\;R\in\operatorname{SO}(n;\mathbb R)
\right\}</math>
그렇다면,  반직접곱에서 <math>\operatorname{ISO}(n;\mathbb R)</math>의 <math>\mathbb R^{n+1}</math> 위의 [[군의 작용|작용]]은 다음과 같다.
:<math>\operatorname{ISO}(n;\mathbb R)\to\operatorname{Aut}(\mathbb R^{n+1})=\operatorname{GL}(\mathbb R^{n+1})</math>
:<math>\begin{pmatrix}
1&\mathbf0\\
\mathbf v&R
\end{pmatrix}\colon(t,\mathbf x)\mapsto\begin{pmatrix}
1&\mathbf0\\
\mathbf v&R
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}t\\\mathbf x\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}t\\
R\mathbf x+\mathbf vt\end{pmatrix}</math>
갈릴레이 군 전체를 다음과 같이 행렬군으로 나타낼 수 있다.
:<math>\operatorname{Gal}(n+1)=\left\{
\begin{pmatrix}
1&0&\mathbf0\\
s&1&\mathbf0\\
\mathbf y&\mathbf v&R
\end{pmatrix}\colon R\in\operatorname{SO}(n),\;\mathbf v,\mathbf y\in\mathbb R^n,\;s\in\mathbb R\right\}</math>
이 표현에서, 갈릴레이 군의 시공간 위의 작용은 다음과 같다.
:<math>\begin{pmatrix}
1&0&\mathbf0\\
s&1&\mathbf0\\
\mathbf y&\mathbf v&R
\end{pmatrix}\colon\begin{pmatrix}1\\t\\\mathbf x\end{pmatrix}
\mapsto\begin{pmatrix}
1&0&\mathbf0\\
s&1&\mathbf0\\
\mathbf y&\mathbf v&R
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\t\\\mathbf x\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1\\
t+s\\
R\mathbf x+\mathbf vt+\mathbf y
\end{pmatrix}
</math>

=== 갈릴레이 대수 ===
갈릴레이 군 <math>\operatorname{Gal}(n+1)</math>의 [[리 대수]]를 '''갈릴레이 대수'''(Galilei代數, {{llang|en|Galilean algebra}}) <math>\mathfrak{gal}(n+1)</math>이라고 한다. 이는 구체적으로 다음과 같다. 우선, 다음과 같은 기저를 정의하자.
{| class=wikitable
! 생성원 !! 기호 !! 단위
|-
| 시간 변화 || <math>H</math> || [시간]<sup>&minus;1</sup>
|-
| 공간 병진 이동 || <math>P_i</math> (<math>i=1,\dots,n</math>) || [길이]<sup>&minus;1</sup>
|-
| 공간 회전 || <math>J_{ij}</math> (<math>i,j=1,\dots,n</math>, <math>J_{ij}=-J_{ji}</math>) || 1
|-
| 갈릴레이 변환 || <math>C_i</math> (<math>i=1,\dots,n</math>) || [시간] [길이]<sup>&minus;1</sup>
|}
그렇다면 이들의 리 괄호는 다음과 같다. (물리학 관례를 따라, 모든 생성원에는 <math>i</math>가 곱해져 있다.)
:<math>[H,P_i]=[P_i,P_j]=[J_{ij},H]=[C_i,C_j]=[C_i,P_j]=0</math>
:<math>[J_{ij},J_{kl}]=i[\delta _{ik}J_{jl}-\delta _{il}J_{jk}-\delta _{jk}J_{il}+\delta _{jl}J_{ik}]</math>
:<math>[J_{ij},P_k]=i[\delta _{ik}P_j-\delta _{jk}P_i]</math>
:<math>[J_{ij},C_k]=i[\delta _{ik}C_j-\delta _{jk}C_i]</math>
:<math>[C_i,H]=iP_i</math>

== 성질 ==
갈릴레이 대수는 [[푸앵카레 대수]]와 달리 자명하지 않은 2차 [[리 대수 코호몰로지]]를 가진다.<ref>{{서적 인용|제목=Geometric asymptotics|이름1=Victor|성1=Guillemin | 이름2=Shlomo | 성2=Sternberg | 출판사=American Mathematical Society | 판=2 | 총서=Mathematical Surveys and Monographs | 권=14 | isbn=0-8218-1633-0 | 날짜=1990 | 언어=en}}</ref>{{rp|191, §Ⅳ.7}}
:<math>\dim\operatorname H^2(\mathfrak{gal}(3+1)) = 1</math>
이에 따라, 갈릴레이 대수는 자명하지 않은 중심 확대를 가지며, 중심 전하 <math>M</math>을 추가하면, 갈릴레이 대수는 다음과 같다.
:<math>[H,P_i]=[P_i,P_j]=[J_{ij},H]=[C_i,C_j]=0</math>
:<math>[J_{ij},J_{kl}]=i[\delta _{ik}J_{jl}-\delta _{il}J_{jk}-\delta _{jk}J_{il}+\delta _{jl}J_{ik}]</math>
:<math>[J_{ij},P_k]=i[\delta _{ik}P_j-\delta _{jk}P_i]</math>
:<math>[J_{ij},C_k]=i[\delta _{ik}C_j-\delta _{jk}C_i]</math>
:<math>[C_i,H]=iP_i</math>
:<math>[C_i,P_j]=iM\delta_{ij}</math>
따라서, 갈릴레이 변환을 따르는 고전적 계를 [[양자화]]한다면, 양자계는 일반적으로 갈릴레이 변환의 중심 확대를 따르게 된다.

== 표현론 ==
3+1차원 갈릴레이 대수 <math>\mathfrak{gal}(3+1)</math>의 ([[중심 확대]]의) 유한 차원 유니터리 표현은 다음과 같이 분류된다.

우선, 중심 확대된 3+1차원 갈릴레이 대수의 [[보편 포락 대수]]의 [[중심 (대수학)|중심]]은 다음 원소들로 생성된다.
* 중심 전하 <math>M</math>. 이는 [[질량]]에 해당한다.
* [[질량껍질]] 불변량 <math>ME-P^2/2</math>. 이는 [[질량]]과 [[정지 에너지]]의 곱이다.
* <math>W_{ij}=MJ_{ij}+P_iC_j-P_jC_i</math>
* <math>W_{ijk}=P_iJ_{jk}+P_jJ_{ki}+P_kJ_{ij}</math>
<math>W_{ij}</math> 및 <math>W_{ijk}</math>는 [[푸앵카레 군]]의 표현론에서의 [[파울리-루반스키 벡터]]와 유사하다.

[[슈어 보조정리]]에 따라, 기약 유니터리 표현에서 이 중심원들은 단위 행렬에 비례하며, 따라서 표현들을 중심 원소의 값에 따라 분류할 수 있다. 위 중심원들의 값이 각각
* <math>m</math>
* <math>mE_0</math>
* <math>w_{ij}</math>
* <math>w_{ijk}</math>
라고 하자. 유니터리 표현을 가정하였으므로, <math>m</math>은 [[실수]]이다. 물리학적으로 <math>E_0\ge0</math>이어야만 한다.

=== 유질량 표현 ===
<math>m\ne0</math>인 경우를 생각하자. <math>(E,\mathbf P)</math> 공간 위에 [[질량껍질]] 제약 <math>mE=mE_0+P^2/2</math>을 가한 초곡면을 '''[[질량껍질]]'''이라고 하며, 갈릴레이 변환 <math>C_i</math>는 질량껍질 위에 [[추이적 작용|추이적으로 작용]]한다.

[[유도 표현]] ([[위그너 분류]]) 방법을 사용하면, <math>C_i</math>의 작용의 [[안정자군]]을 고려하게 된다. 이 안정자군은 <math>J_{ij}</math>에 의해 생성되는 [[스핀 군]] <math>\operatorname{Spin}(n)</math>이다 (<math>n\ge3</math>). <math>n=3</math>인 경우, [[3차원 직교군|3차원 스핀 군]] <math>\operatorname{Spin}(3)=\operatorname{SU}(2)</math>의 유한 차원 유니터리 표현은 [[스핀]] <math>s\in\{0,1/2,1,3/2,\dots\}</math>에 의하여 완전히 분류된다. 즉, <math>m\ne0</math>인 경우 갈릴레이 대수의 유니터리 표현은 <math>\operatorname{Spin}(n)</math>의 유니터리 표현 <math>s</math> 및 질량 <math>m</math>, 정지 에너지 <math>E_0</math>에 의하여 분류된다.

=== 무질량 표현 ===
<math>m=0</math>인 경우, 유니터리 표현이므로 <math>mE-\mathbf p^2/2=-\mathbf p^2/2\le0</math>이다. [[유도 표현]] 방법에 따르면, <math>(E,\mathbf P)</math> 공간에서의 [[안정자군]]을 고려해야 한다.
* <math>\mathbf p^2=0</math>인 경우: 이 경우 안정자군은 <math>J_{ij}</math>와 <math>C_i</math>에 의하여 생성되는 [[유클리드 군]] <math>\operatorname{ISO}(n)\cong\mathbb R^n\rtimes\operatorname{SO}(n)</math>이다. 따라서 이 경우 표현은 [[유클리드 군]]의 유니터리 표현의 분류로 귀결된다. 물리학적으로, 이 표현을 따르는 상태는 [[진공]]밖에 없으며, 이는 유클리드 군의 자명한 표현에 해당한다.
* <math>\mathbf p^2>0</math>인 경우: 이 경우 안정자군은 <math>\operatorname{ISO}(n-1)</math>이며, 이는 <math>\mathbf p</math>에 대하여 수직인 방향의 <math>C_i</math> 및 <math>P_i</math>에 의하여 생성된다. 따라서 이 경우 표현은 [[유클리드 군]] <math>\operatorname{ISO}(n-1)</math>의 유니터리 표현의 분류로 귀결된다. 물리학적으로, 이 표현을 따르는 상태는 운동량의 (유한한 거리에 대한) 순간적인 이동을 나타내며, 즉 원격 작용({{llang|en|action at a distance}})을 전달하는 입자이다. 이러한 표현은 [[푸앵카레 군]]의 [[타키온]] 표현과 유사하다.

== 예 ==
=== 1차원 갈릴레이 군 ===
0+1차원 갈릴레이 대수 <math>\mathfrak{gal}(1)</math>은 1차원 [[아벨 리 대수]]이다. 0+1차원 갈릴레이 군 <math>\operatorname{Gal}(1)</math>은 1차원 아벨 리 군 <math>\mathbb R</math>이다.

=== 2차원 갈릴레이 군 ===
1+1차원 갈릴레이 대수 <math>\mathfrak{gal}(1+1)</math>은 3차원 실수 [[하이젠베르크 대수]] <math>\mathfrak h(3;\mathbb R)</math>와 동형이다. 하이젠베르크 대수의 통상적 기저
:<math>\mathfrak h(3;\mathbb R)=\operatorname{Span}\{x,p,\hbar\}</math>
:<math>[x,p]=i\hbar</math>
:<math>[x,\hbar]=[p,\hbar]=0</math>
가 주어졌을 때, 동형은 구체적으로 다음과 같다.
:<math>C\mapsto x</math>
:<math>H\mapsto p</math>
:<math>P\mapsto\hbar</math>
이는 3차원 실수 [[리 대수]] 가운데 [[아벨 리 대수]]가 아닌 유일한 [[멱영 리 대수]]이며, 3차원 리 대수의 [[비안키 분류]]에서 II형 대수이다.

마찬가지로, 1+1차원 갈릴레이 군은 3차원 실수 [[하이젠베르크 군]]과 동형이다. 3차원 하이젠베르크 군은 3×3 [[상삼각 행렬]]로 구성되는데, 위의 행렬 표현에서 갈릴레이 변환은 [[하삼각 행렬]]로 구성된다. (상삼각 행렬과 하삼각 행렬 사이는 기저의 순서를 뒤바꾸어 변환할 수 있다.)

== 응용 ==
갈릴레이 변환은 [[뉴턴 역학]]에서 사용되는 시공간의 대칭군이다. 다만, 자기력과 같이 속도에 의존하는 [[힘 (물리학)|힘]]이 존재하는 계의 경우 갈릴레이 변환을 따르지 않을 수 있다. 예를 들어, [[맥스웰 방정식]]은 갈릴레이 변환을 따르지 않는다.

실제 세계의 시공간은 실험에 따라 갈릴레이 변환을 따르지 않고, 대신 [[푸앵카레 변환]]을 따른다. 갈릴레이 군은 [[푸앵카레 군]]의 위그너-이뇌뉘 축약({{llang|en|Wigner–İnönü contraction}})이며, 이는 [[광속]]을 무한대로 취하는 것으로 생각할 수 있다. 즉, [[광속]]보다 매우 낮은 속도에 대해서는 갈릴레이 변환이 대략적으로 성립한다.

== 역사 ==
갈릴레이 변환의 개념은 이탈리아의 물리학자 [[갈릴레오 갈릴레이]]가 《[[새로운 두 과학]]》에서 최초로 기술하였다.<ref>{{서적 인용|last=Galilei|first=Galileo|authorlink=갈릴레오 갈릴레이|year=1638|title=[[새로운 두 과학|Discorsi e dimostrazioni matematiche, intorno à due nuoue ſcienze Attinenti alla Mecanica & i Movimenti Locali. Con vna Appendice del centro di grauità d’alcuni Solidi]]|publisher=Appreſſo gli Elſevirii|location=[[레이던]]|언어=it}}</ref>{{rp|191–196}} [[특수 상대성 이론]] 이전에는 역학의 기본적인 원리로 당연히 여기다가, 이를 대체하는 [[푸앵카레 변환]]이 제시되자 이와 구별하기 위해 "갈릴레이 변환"이라고 부르기 시작했다.

== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용 | 이름=Vladimir I.|성=Arnold|저자링크=블라디미르 아르놀트|title=Mathematical methods of classical mechanics|판=2판| publisher=Springer | year = 1997|isbn=978-0-387-96890-2|언어=en}}
*{{저널 인용|last=Bargmann|first=Valentine|year=1954|title=On unitary ray representations of continuous groups|url=https://archive.org/details/sim_annals-of-mathematics_1954-01_59_1/page/n2|journal=Annals of Mathematics|series=2|volume=59|issue=1|pages=1–46|doi=10.2307/1969831 |jstor=1969831|언어=en}}
* {{저널 인용|title=Nonrelativistic particles and wave equations|first=Jean-Marc|last=Lévy-Leblond|저널=Communications in Mathematical Physics|권 = 6| 호=4|날짜=1967|doi=10.1007/bf01646020 |url=http://projecteuclid.org/euclid.cmp/1103840281 |  쪽= 286–311|bibcode = 1967CMaPh...6..286L|언어=en }}

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=Galilean group}}
* {{nlab|id=classical anomaly|title=Classical anomaly}}
* {{웹 인용|url=http://physics.stackexchange.com/questions/104442/galilean-se3-poincare-groups-central-extension|제목=Galilean, SE(3), Poincare groups - Central Extension|출판사=StackExchange|언어=en}}
* YAN Kun(2004). [http://www.nature.ac.cn/papers/paper-pdf/physics-pdf.pdf Energy-exchange descriptions on the superluminal velocity and quantum fractal](Equation of the one-way speed of light for the constancy of the two-way speed of light). DOI:10.3969/j.issn.1006-8341.2004.03.010.

== 같이 보기 ==
* [[푸앵카레 군]]
* [[유클리드 군]]
* [[로런츠 군]]

{{상대론}}
{{전거 통제}}

[[분류:고전역학]]
[[분류:리 군]]
[[분류:갈릴레오 갈릴레이]]