갈루아 군 문서 원본 보기

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[[수학]]에서 '''갈루아 군'''(Galois群, {{llang|en|Galois group}})은 특정한 종류의 [[체의 확대]]에 대응되는 [[군 (수학)|군]]이다. [[갈루아 이론]]은 갈루아 군을 이용해 [[체의 확대]] (및 이를 생성하는 [[다항식]])을 연구하는 분야이다.

== 정의 ==
[[체의 확대]] <math>L/K</math>가 주어졌다고 하자. 이 경우, 체 <math>L</math>의 [[자기 동형]] <math>f\colon L\to L</math> 가운데 <math>f(k)=k\forall k\in K</math>인 것들은 [[함수의 합성]]에 대하여 군을 이루며, 이를 체의 확대 <math>L/K</math>의  '''자기 동형군''' <math>\operatorname{Aut}(L/K)</math>라고 한다.

만약 <math>L/K</math>가 [[갈루아 확대]]일 경우, 그 자기 동형군을 '''갈루아 군''' <math>\operatorname{Gal}(L/K)</math>이라고 한다.

체 <math>K</math>의 [[분해 가능 폐포]] <math>K^{\operatorname{sep}}</math>의 자기 동형군 <math>\operatorname{Gal}(K^{\operatorname{sep}}/K)</math>을 '''절대 갈루아 군'''({{llang|en|absolute Galois group}}) <math>\operatorname{Gal}K</math>이라고 한다. 절대 갈루아 군은 [[환의 스펙트럼|스펙트럼]] <math>\operatorname{Spec}K</math>의 [[에탈 기본군]]과 표준적으로 동형이다.
:<math>\operatorname{Gal}K\cong\pi_1^{\operatorname{\acute et}}(\operatorname{Spec}K)</math>
<math>K^{\operatorname{sep}}/K</math>는 최대 [[갈루아 확대]]이므로, 모든 갈루아 군은 절대 갈루아 군의 [[부분군]]이다.

=== 갈루아 군의 위상 ===
갈루아 확대의 갈루아 군은 자연스럽게 [[사유한군]]의 구조를 가져 [[위상군]]이 된다. 구체적으로, 갈루아 확대 <math>L/K</math>에 대하여, 그 부분 확대들의 [[격자 (순서론)|격자]] <math>\operatorname{Sub}(L/K)</math> 및 갈루아 부분 확대들의 격자
:<math>\operatorname{Sub_{Gal}}(L/K)\subset\operatorname{Sub}(L/K)</math>
를 정의하자. 그렇다면, 갈루아 군 <math>\operatorname{Gal}(L/K)</math>은 다음과 같이 [[유한군]]들의 [[역극한]]으로 나타낼 수 있다.
:<math>\operatorname{Gal}(L/K)=\varprojlim_{M\in\operatorname{Sub_{Gal}}(L/K)}^{[M:K]<\aleph_0}\operatorname{Gal}(M/K)</math>
이와 같이 [[유한군]]의 역극한으로 나타내어지는 [[위상군]]을 [[사유한군]]이라고 하며, 갈루아 군의 사유한 위상을 '''크룰 위상'''({{llang|en|Krull topology}})이라고 한다.

== 성질 ==
'''갈루아 이론의 기본 정리'''({{llang|en|fundamental theorem of Galois theory}})에 따라, 다음과 같은 표준적인 전단사 대응이 존재한다.
{| class=wikitable
! 체론 || 군론
|-
| <math>K^{\operatorname{sep}}/K</math>의 부분 확대 <math>L/K</math> || 절대 갈루아 군의 [[닫힌집합|닫힌]] 부분군 <math>\operatorname{Gal}(K^{\operatorname{sep}}/L)\le\operatorname{Gal}K</math>
|-
|<math>K^{\operatorname{sep}}/K</math>의 [[유한 확대|유한 부분 확대]] <math>L/K</math> || 절대 갈루아 군의 [[열린닫힌집합|열린닫힌]] 부분군 <math>\operatorname{Gal}(K^{\operatorname{sep}}/L)\le\operatorname{Gal}K</math>
|-
| [[유한 확대]] <math>L/K</math>에서, <math>K</math>를 고정시키는 매장 <math>L\hookrightarrow K^{\operatorname{sep}}</math> || <math>\operatorname{Gal}(K^{\operatorname{sep}}/L)\le\operatorname{Gal}K</math>의 (왼쪽) [[잉여류]]
|-
| [[갈루아 확대]] <math>L/K</math> || 절대 갈루아 군의 닫힌 [[정규 부분군]] <math>\operatorname{Gal}(K^{\operatorname{sep}}/L)\vartriangleleft\operatorname{Gal}K</math>
|-
| <math>K^{\operatorname{sep}}/K</math>의 부분 확대 <math>L/K</math>의 켤레 확대({{llang|en|conjugate extension}}) <math>\sigma(L)/K</math> || <math>\operatorname{Gal}(K^{\operatorname{sep}}/L)</math>의 켤레 부분군 <math>\operatorname{Gal}(K^{\operatorname{sep}}/\sigma(L))=\sigma\operatorname{Gal}(K^{\operatorname{sep}}/L)\sigma^{-1}</math>
|}
이는 절대 갈루아 군 대신 (상대) 갈루아 군에 대해서도 마찬가지로 성립한다.

=== 갈루아 코호몰로지 ===
갈루아 군의 [[군 코호몰로지]]는 여러 흥미로운 정보들을 담고 있다. 이는 또한 <math>K</math>의 스펙트럼 <math>\operatorname{Spec}K</math>의 [[에탈 코호몰로지]]와 같다.

[[체의 확대]] <math>L/K</math>가 주어졌을 때, [[자기 동형군]] <math>\operatorname{Aut}(L/K)</math>는 정의에 따라 <math>L</math> 위에 자연스럽게 [[군의 작용|작용]]하며, <math>(L,+)</math>은 [[군환]] <math>\mathbb Z[\operatorname{Aut}(L/K)]</math> 위의 [[가군]]을 이룬다.
:<math>(n_1g_1+n_2g_2+\cdots+n_kg_k)\cdot a=n_1g_1(a)+n_2g_2(a)+\cdots+n_kg_k(a)\qquad\forall g_1,\dots,g_k\in\operatorname{Aut}(L/K),\;n_1,\dots,n_k\in\mathbb Z</math>
'''가법 힐베르트 90번 정리'''(加法Hilbert九十番定理, {{llang|en|additive Hilbert’s theorem 90}})에 따르면, [[유한 확대|유한]] [[갈루아 확대]] <math>L/K</math>에 대하여, <math>L</math> 계수의 고차 [[군 코호몰로지]]는 [[자명군]]이다.
:<math>\operatorname H^n(\operatorname{Gal}(L/K);L)=\begin{cases}
K&n=0\\
0&n>0
\end{cases}</math>
(이는 정규 기저 정리({{llang|en|normal basis theorem}})로부터 증명할 수 있다.)

[[체의 확대]] <math>L/K</math>가 주어졌을 때, [[자기 동형군]] <math>\operatorname{Gal}(L/K)</math>는 [[가역원군]] <math>L^\times</math> 위에 자연스럽게 [[군의 작용|작용]]하며, <math>L^\times</math>는 [[군환]] <math>\mathbb Z[\operatorname{Gal}(L/K)]</math> 위의 [[가군]]을 이룬다.
:<math>(n_1g_1+n_2g_2+\cdots+n_kg_k)\cdot a=(g_1(a))^{n_1}(g_2(a))^{n_1}\cdots(g_k(a))^{n_k}\qquad\forall g_1,\dots,g_k\in\operatorname{Gal}(L/K),\;n_1,\dots,n_k\in\mathbb Z</math>
'''승법 힐베르트 90번 정리'''(乘法Hilbert九十番定理, {{llang|en|multiplicative Hilbert’s theorem 90}})에 따르면, [[유한 확대]] <math>L/K</math>의 [[자기 동형군]] <math>\operatorname{Aut}(L/K)</math>가 [[유한군]]이라면, <math>L^\times</math> 계수의 1차 [[군 코호몰로지]]는 [[자명군]]이다.
:<math>\operatorname H^1(\operatorname{Gal}(L/K);L^\times)=0</math>
(이 경우 <math>L/K</math>가 [[갈루아 확대]]라고 가정할 필요가 없다.)

== 예 ==
* 임의의 체 <math>K</math>에 대하여, <math>\operatorname{Gal}(K/K)</math>는 [[자명군]]이다.
* <math>\operatorname{Gal}(\mathbb Q(\sqrt2)/\mathbb Q)</math>은 두 개의 원소를 가지며, 이는 [[항등 함수]]와  <math>a+b\sqrt2\mapsto a-b\sqrt2</math>이다.
모든 [[사유한군]]은 어떤 [[갈루아 확대]]의 갈루아 군으로 나타낼 수 있다.

=== 3차 다항식 ===
임의의 체 <math>K</math> 및 3차 [[기약 다항식]] <math>f\in K[x]</math>에 대하여, 만약 <math>\operatorname{char}K\ne2,3</math>이라면, <math>f</math>의 [[분해체]]는 <math>K</math>의 [[갈루아 확대]]이며, 그 갈루아 군은 다음과 같다.<ref name="Lang">{{서적 인용|성=Lang|이름=Serge|저자링크=서지 랭|제목=Algebra|언어=en|판=개정 3|총서=Graduate Texts in Mathematics|권=211|출판사=Springer|위치=[[뉴욕]]|날짜=2002|issn=0072-5285|isbn=978-1-4612-6551-1|doi=10.1007/978-1-4613-0041-0|zbl=0984.00001|mr=1878556|id={{구글 도서 식별자|Fge-BwqhqIYC}}}}</ref>{{rp|270, Example 2}}
:<math>\operatorname{Gal}(f)\cong\begin{cases}
\operatorname{Sym}(3) & \sqrt{\operatorname{disc}(f)}\not\in\mathbb Q \\
\operatorname{Cyc}(3) & \sqrt{\operatorname{disc}(f)}\in\mathbb Q
\end{cases}
</math>
여기서 <math>\operatorname{disc}(f)</math>는 <math>f</math>의 [[판별식]]이다.

=== 절대 갈루아 군의 예 ===
* [[대수적으로 닫힌 체]] <math>K</math>의 절대 갈루아 군 <math>\operatorname{Gal}(K/K)</math>은 [[자명군]]이다.
* [[실수체]]의 절대 갈루아 군 <math>\operatorname{Gal}(\mathbb C/\mathbb R)</math>는 두 개의 원소를 갖는다. 그 둘은 [[항등 함수]]와 복소 공액 사상 <math>z\mapsto\bar z</math>이다. (실수체는 [[완전체]]이므로, 그 [[분해 가능 폐포]]는 [[대수적 폐포]]와 같다.)
* [[유리수체]]의 절대 갈루아 군 <math>\operatorname{Gal}(\mathbb C/\mathbb Q)</math>는 무한군이다. 유리수체의 절대 갈루아 군의 직접적인 묘사는 알려져 있지 않다. 다만, 벨리의 정리({{llang|en|Belyi’s theorem}})에 따르면 유리수체의 절대 갈루아 군은 [[데생당팡]]의 집합 위에 자연스러운 [[충실한 작용]]을 갖는다.
[[아르틴-슈라이어 정리]]({{llang|en|Artin–Schreier theorem}})에 따르면, 절대 갈루아 군 가운데 [[유한군]]인 것은 [[자명군]]과 2차 [[순환군]] <math>\mathbb Z/2</math>밖에 없다. 즉, 모든 절대 갈루아 군은 위 세 가지의 예와 비슷하다.

== 같이 보기 ==
* [[절대 갈루아 군]]
* [[갈루아 이론]]
* [[갈루아 모듈]]
* [[가해군]]

== 참고 문헌 ==
<references/>

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Galois group}}
* {{eom|title=Galois topological group}}
* {{eom|title=Galois cohomology}}
* {{매스월드|id=GaloisGroup|title=Galois group}}
* {{매스월드|id=FundamentalTheoremofGaloisTheory|title=Fundamental theorem of Galois theory}}
* {{nlab|id=Galois group}}
* {{nlab|id=absolute Galois group|title=Absolute Galois group}}
* {{nlab|id=Galois cohomology}}

[[분류:갈루아 이론]]