각의 이등분선 문서 원본 보기

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[[기하학]]에서 '''각의 이등분선'''(角-二等分線, {{llang|en|angle bisector}})은 주어진 [[각 (수학)|각]]을 같은 크기의 두 각으로 나누는 [[직선]]이다. 이 직선 가운데 각의 내부에 포함되는 부분으로 구성된 [[반직선]]을 각의 이등분선으로 삼아도 좋다.

== 정의 ==
주어진 각 <math>\angle AOB</math>의 내부의 점 <math>P</math>가 <math>\angle AOP=\angle POB</math>를 만족시키면, 직선 또는 반직선 <math>OP</math>를 각 <math>\angle AOB</math>의 이등분선이라고 한다.<ref name="Martin">{{서적 인용
|성=Martin
|이름=George E.
|제목=The Foundations of Geometry and the Non-Euclidean Plane
|언어=en
|총서=Undergraduate Texts in Mathematics
|출판사=Springer
|위치=New York, NY
|날짜=1975
|isbn=978-1-4612-5727-1
|doi=10.1007/978-1-4612-5725-7
}}</ref>{{rp|160, §14.1, Definition 14.7}}

== 성질 ==
주어진 각의 이등분선은 유일하게 존재한다. (직선으로서의) 각의 이등분선은 각의 양변과의 거리가 같은 평면 위 점들의 [[자취]]이다. 즉, 각 <math>\angle AOB</math>와 이 각의 평면 위의 점 <math>P</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* 직선 <math>OP</math>는 각의 이등분선이다.
* <math>P</math>와 직선 <math>OA</math> 사이의 거리는 <math>P</math>와 직선 <math>OB</math> 사이의 거리와 같다.

=== 단순비 ===
삼각형 <math>ABC</math>의 꼭짓점 <math>A</math>에서의 [[내각과 외각|내각]]과 [[내각과 외각|외각]]의 이등분선 <math>AD</math>, <math>AD'</math>과 대변 <math>BC</math>의 교점을 <math>D</math>, <math>D'</math>라고 하자. 그렇다면
:<math>\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}</math>
:<math>\frac{BD'}{D'C}=-\frac{AB}{AC}</math>
가 성립한다. 여기서 좌변의 비율은 [[유향 선분]]의 비율로 봐야 한다. 즉, 두 유향 선분의 방향이 같을 경우 양수이며, 반대일 경우 음수이다.

=== 길이 ===
삼각형 <math>ABC</math>의 각 변 <math>BC</math>, <math>CA</math>, <math>AB</math>의 길이가 각각 <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math>라고 하고, 꼭짓점 <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math>에서의 내각의 이등분선 <math>AD</math>, <math>BE</math>, <math>CF</math>와 대변 <math>BC</math>, <math>CA</math>, <math>AB</math>의 교점을 <math>D</math>, <math>E</math>, <math>F</math>라고 하자. 그렇다면
:<math>AD=\sqrt{bc\left(1-\frac{a^2}{(b+c)^2}\right)}</math>
:<math>BE=\sqrt{ac\left(1-\frac{b^2}{(a+c)^2}\right)}</math>
:<math>CF=\sqrt{ab\left(1-\frac{c^2}{(a+b)^2}\right)}</math>
이다. 이에 따라, 같은 삼각형 속 내각의 이등분선은 대변이 짧을수록 더 길다. 예를 들어, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* <math>BE>CF</math>
* <math>b<c</math>
이다. 또한, 다음 두 조건 역시 서로 동치이며, 이를 [[슈타이너-레무스 정리]]라고 한다.
* <math>BE=CF</math>
* <math>b=c</math>
이에 따라, 두 내각의 이등분선의 길이가 같은 삼각형은 [[이등변 삼각형]]이다.

=== 내심과 방심 ===
삼각형의 세 내각의 이등분선은 한 점에서 만난다. 이 점을 삼각형의 [[내심]]이라고 한다. 삼각형의 한 내각의 이등분선과 남은 두 꼭짓점에서의 외각의 이등분선은 한 점에서 만난다. 이 점을 삼각형의 [[방심]]이라고 한다. 모든 삼각형은 한 개의 내심과 세 개의 방심을 갖는다. 내심과 방심의 존재는 각의 이등분선 위의 점과 각의 두 변 사이의 거리가 같다는 사실을 통해 증명하거나, [[체바 정리]]를 통해 증명할 수 있다.

이와 평행하는 결과는 다음과 같다. 삼각형의 세 외각의 이등분선의 발은 같은 직선 위의 점이며, 한 외각의 이등분선과 남은 두 꼭짓점에서의 내각의 이등분선의 발 역시 같은 직선 위의 점이다. 이는 [[메넬라오스 정리]]를 통해 증명할 수 있다.

== 같이 보기 ==
* [[각의 3등분]]

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|제목=Bisectrix}}
* {{매스월드|id=AngleBisector|title=Angle bisector}}
* {{매스월드|id=ExteriorAngleBisector|title=Exterior angle bisector}}
* {{매스월드|id=AngleBisectorTheorem|title=Angle bisector theorem}}

[[분류:유클리드 평면기하학]]