가해군 문서 원본 보기

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[[군론]]에서 '''가해군'''(可解群, {{llang|en|solvable group}})은 [[아벨 군]]들만을 사용한 [[군의 확대]]로 나타낼 수 있는 군이다.

== 정의 ==
어떤 [[군 (수학)|군]] <math>G</math>가 다음과 같은 꼴의 [[정규부분군]]열
:<math>1=G_0\vartriangleleft G_1\vartriangleleft\cdots\vartriangleleft G_k=G</math>
을 가지고, 또한 모든 <math>G_{i+1}/G_i</math>가 [[아벨 군]]이라면  <math>G</math>를 '''가해군'''이라고 한다.

어떤 [[군 (수학)|군]] <math>G</math>가 다음과 같은 꼴의 [[정규부분군]]열
:<math>1=G_0\vartriangleleft G_1\vartriangleleft\cdots\vartriangleleft G_k=G</math>
을 가지고, 또한
:<math>G_i\vartriangleleft G</math>
이며 모든 <math>G_{i+1}/G_i</math>가 [[순환군]]이라면 <math>G</math>를 '''초가해군'''(超可解群, {{llang|en|supersolvable group}})이라고 한다. 모든 초가해군은 가해군이나, 그 역은 성립하지 않는다.

== 성질 ==
군 <math>G</math>와 [[정규 부분군]] <math>N\vartriangleleft G</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>G</math>는 가해군이다.
* <math>N</math>과 [[몫군]] <math>G/N</math>은 모두 가해군이다.

가해군의 부분군은 가해군이다. 두 가해군의 [[반직접곱]]은 가해군이다. (특수한 경우로, 유한 개의 가해군의 [[직접곱]]은 가해군이다.) 두 가해군의 [[화환곱]]은 가해군이다.

== 예 ==
모든 [[아벨 군]]은 (자명하게) 가해군이다. 모든 [[멱영군]]은 가해군이다.

=== 가해 유한군 ===
가해군이 아닌 가장 작은 군은 (크기가 60인) [[교대군]] <math>A_5</math>이다. 다시 말해, 크기가 59 이하인 모든 군은 가해군이다. 가해군이 아닌 군들의 가능한 크기는 다음과 같다. {{OEIS|A056866}}
:60, 120, 168, 180, 240, 300, 336, 360, 420, 480, …
초가해군이 아닌 가장 작은 군은 (크기가 12인) [[교대군]] <math>A_4</math>이다. 초가해군이 아닌 군들의 가능한 크기는 다음과 같다. {{OEIS|A066085}}
:12, 24, 36, 48, 56, 60, 72, 75, 80, 84, 96, 108, 112, 120, 132, …
주어진 크기의 초가해군의 수는 다음과 같다. {{OEIS|A066083}}
:1, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 5, 2, 2, 1, 4, 1, 2, 1, 14, …
즉, 예를 들어 크기가 4인 초가해군은 두 개(4차 [[순환군]] 및 [[클라인 4원군]])가 있다.

[[파이트-톰프슨 정리]]에 따르면, 크기가 홀수인 모든 [[유한군]]은 가해군이다.

[[번사이드 정리]]에 따르면, 크기가
:<math>p^aq^b</math>
의 꼴인 [[유한군]]은 가해군이다. 여기서 <math>p,q</math>는 [[소수 (수론)|소수]]이고, <math>a,b</math>는 음이 아닌 정수다.

=== 가해 리 군 ===
[[리 대수]]가 [[가해 리 대수]]인 [[연결 공간|연결]] [[리 군]]은 가해군을 이룬다. 예를 들어, 실수 또는 복소수 [[상삼각 행렬]]들의 [[리 군]]은 가해 리 군이다.

모든 유한 차원 연결 가해 리 군은 [[유클리드 공간]]과 [[미분동형]]이다.

== 역사 ==
가해군의 개념은 [[갈루아 이론]]에서 최초로 등장하였다. 갈루아 이론에서, [[갈루아 군]]이 가해군인 [[갈루아 확대]]는 [[거듭제곱근]]으로 풀 수 있기 때문에 이러한 이름이 붙었다. 오늘날 가해군의 개념은 갈루아 이론뿐만 아니라 [[군론]] 전반적으로 널리 쓰인다.

== 같이 보기 ==
* [[가해 리 대수]]

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용|언어=en|이름=David S.|성=Dummit|공저자=Richard M. Foote|연도=2004|제목=Abstract Algebra|판=3판|위치=New York|출판사=Wiley|isbn= 978-0-471-43334-7|url=http://www.wiley.com/WileyCDA/WileyTitle/productCd-0471433349.html|oclc=248917264}}

== 외부 링크 ==
* {{수학노트|title=가해군(solvable group)}}
* {{eom|title=Solvable group}}
* {{eom|title=Supersolvable group}}
* {{eom|title=Lie group, solvable}}
* {{eom|title=Lie group, supersolvable}}
* {{매스월드|id=SolvableGroup|title=Solvable group}}
* {{매스월드|id=SolvableLieGroup|title=Solvable Lie group}}

{{전거 통제}}

[[분류:군론]]