가측 함수 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[측도론]]에서 '''가측 함수'''(可測函數, {{llang|en|measurable function}})는 [[원상 (수학)|원상]]이 가측성을 보존하는 함수이다.

== 정의 ==
두 [[가측 공간]] <math>(X,\mathcal F)</math>, <math>(Y,\mathcal G)</math> 사이의 '''가측 함수''' <math>f\colon X\to Y</math>는 다음 성질을 만족시키는 함수이다.
* 모든 <math>S\in\mathcal G</math>에 대하여, <math>f^{-1}(S)\in\mathcal F</math>

만약 [[공역]]이 [[유클리드 공간]]인 경우, 보통 공역에 [[보렐 시그마 대수]]를 부여한다. 만약 [[정의역]]이 [[유클리드 공간]]일 영우, 보통 공역에 [[르베그 측도|르베그 시그마 대수]]를 부여한다. 즉, "가측 함수 <math>\mathbb R\to\mathbb R</math>"는 보통 <math>(\mathbb R,\mathcal L(\mathbb R))\to(\mathbb R,\mathcal B(\mathbb R))</math>을 의미한다.

== 성질 ==
두 가측 함수
:<math>f\colon(X_1,\mathcal F_1)\to(X_2,\mathcal F_2)</math>
:<math>g\colon(X_2,\mathcal F_2)\to(X_3,\mathcal F_3)</math>
가 주어졌을 때, 그 [[합성 함수]]
:<math>g\circ f\colon(X_1,\mathcal F_1)\to(X_3,\mathcal F_3)</math>
역시 가측 함수이다.

=== 보렐 가측 함수 ===
<math>X</math>와 <math>Y</math>가 [[보렐 시그마 대수]]를 갖춘 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]이라고 하면, 다음이 성립한다.
* <math>X</math>와 <math>Y</math> 사이의 모든 [[연속 함수]]는 가측 함수이다.
* 반대로, [[루진의 정리]]에 따르면, <math>Y</math>가 [[제2 가산 공간]]이며 <math>X</math>에 [[라돈 측도]]가 부여되었다면, 모든 가측 함수 <math>f\colon X\to Y</math>는 <math>X</math>의 (라돈 측도에 대하여) [[거의 어디서나]] 연속 함수이다.

<math>(X,\mathcal F)</math>가 임의의 가측 공간일 경우, 다음이 성립한다.
* 두 가측 함수 <math>f,g\colon(X,\mathcal F)\to(\mathbb R,\mathcal B(\mathbb R))</math>에 대하여, <math>f+g</math> 및 <math>f\cdot g</math>는 가측 함수이다.
* 가측 함수의 열 <math>f_1,f_2,\dots\colon(X,\mathcal F)\to(\mathbb R,\mathcal B(\mathbb R))</math>의 점별 극한은 가측 함수이다.
* 모든 르베그 적분 가능 함수 <math>X\to\mathbb R</math>는 가측 함수이다.

=== 르베그 가측 함수 ===
임의의 함수 <math>f\colon\mathbb R\to\mathbb R</math> 및 <math>g\colon\mathbb R\to[0,\infty)</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>f\colon(\mathbb R,\mathcal L(\mathbb R))\to(\mathbb R,\mathcal B(\mathbb R))</math>는 가측 함수이다.
* 다음 함수는 [[르베그 적분]] 가능 함수이다.
::<math>\operatorname{mid}\{-g,f,g\}\colon x\mapsto\begin{cases}
g(x)&f(x)\ge g(x)\\
f(x)&-g(x)\le f(x)\le g(x)\\
-g(x)&f(x)\le-g(x)
\end{cases}</math>

=== 바나흐 공간 값 가측 함수 ===
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
* [[가측 공간]] <math>(X,\mathcal F)</math>
* <math>\mathbb K\in\{\mathbb R,\mathbb C\}</math>
* (표준적인 위상과 [[보렐 시그마 대수]]를 갖춘) <math>\mathbb K</math>-[[바나흐 공간]] <math>Y</math>
그렇다면, <math>X\to Y</math> '''[[단순 함수]]'''는 다음과 같은 꼴의 함수 <math>f\colon X\to Y</math>이다.
:<math>f=\sum_{i=1}^ky_i1_{S_i}</math>
:<math>y_1,\dots,y_k\in Y</math>
:<math>S_1,\dots,S_k\in\mathcal F</math>
:<math>k\in\mathbb N</math>
(여기서 <math>1_{S_i}</math>는 [[지시 함수]]이다.)

이제, 함수 <math>f\colon X\to Y</math>에 대하여, 다음 세 조건을 정의하자.
* ('''강가측 함수''', 强可測函數, {{llang|en|strongly measurable function}}) [[단순 함수]]의 열의 점별 극한이다.
* ('''약가측 함수''', 弱可測函數, {{llang|en|weakly measurable function}}) 임의의 [[연속 쌍대 공간]] 원소 <math>\phi\in Y^*</math>에 대하여, <math>\phi\circ f\colon(X,\mathcal B(X))\to(\mathbb K,\mathcal B(\mathbb K))</math>는 가측 함수이다.
이 경우, 모든 강가측 함수는 가측 함수이며, 모든 가측 함수는 약가측 함수이다. 또한, '''페티스 가측성 정리'''(Pettis可測性定理, {{llang|en|Pettis measurability theorem}})에 따르면, 함수 <math>f\colon X\to Y</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.<ref name="Hytönen">{{서적 인용
|성1=Hytönen
|이름1=Tuomas
|성2=van Neerven
|이름2=Jan
|성3=Veraar
|이름3=Mark
|성4=Weis
|이름4=Lutz
|제목=Analysis in Banach Spaces. Volume I: Martingales and Littlewood-Paley Theory
|언어=en
|총서=Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge / A Series of Modern Surveys in Mathematics
|권=63
|출판사=Springer
|위치=Cham
|날짜=2016
|isbn=978-3-319-48519-5
|issn=0071-1136
|doi=10.1007/978-3-319-48520-1
|lccn=2016955329
}}</ref>{{rp|5, Theorem 1.1.6}}
* 강가측 함수이다.
* 약가측 함수이며, <math>f(X)\subset\widetilde Y</math>인 [[분해 가능]] 부분 공간 <math>\widetilde Y\subset Y</math>가 존재한다.
특히, 만약 <math>Y</math>가 [[분해 가능]] [[바나흐 공간]]일 경우, <math>f\colon X\to Y</math>에 대하여, 다음 세 조건이 서로 [[동치]]이다.
* 강가측 함수이다.
* 가측 함수이다.
* 약가측 함수이다.

[[가측 공간]] <math>(X,\mathcal F)</math> 및 <math>\mathbb K\in\{\mathbb R,\mathbb C\}</math> 및 두 <math>\mathbb K</math>-[[바나흐 공간]] <math>Y</math>, <math>Z</math>가 주어졌다고 하자. 만약 <math>f\colon X\to Y</math>가 강가측 함수이며, <math>g\colon Y\to Z</math>가 가측 함수라면, <math>g\circ f</math>는 강가측 함수이다.<ref name="Hytönen" />{{rp|7, Corollary 1.1.11}}

== 예 ==
정의에 따르면 [[확률 변수]]는 [[확률 공간]]을 정의역으로 하는 가측 함수이다.

모든 함수가 가측 함수는 아니다. 예를 들면, 만약 <math>A\subset\mathbb R</math>가 가측 집합이 아닌 경우, [[지시 함수]] <math>1_A</math>는 가측 함수가 아니다.

=== 강가측 함수가 아닌 가측 함수 ===
[[분해 가능 공간|분해 불가능]] <math>\mathbb K</math>-[[바나흐 공간]] <math>X</math> 위의 [[항등 함수]]
:<math>f\colon x\mapsto x</math>
를 생각하자. 이는 [[연속 함수]]이므로 보렐 가측 함수이다. 그러나 <math>f(X)=X</math>가 분해 가능하지 않으므로, 페티스 가측성 정리에 따라 <math>f</math>는 강가측 함수가 아니다.<ref name="Hytönen" />{{rp|4, Example 1.1.5}}

=== 가측 함수가 아닌 약가측 함수 ===
실수의 [[셈측도]] 공간 <math>(\mathbb R,\mathcal P(\mathbb R),\mu)</math> 위의 [[르베그 공간]] <math>\ell^2(\mathbb R;\mathbb K)</math>를 공역으로 하는, 다음과 같은 함수를 정의하자.
:<math>f\colon\mathbb R\to\ell^2(\mathbb R;\mathbb K)</math>
:<math>f(x)(t)=
\begin{cases}
1 & t=x \\
0 & t\ne x
\end{cases}
</math>
그렇다면, <math>f\colon(\mathbb R,\mathcal L(\mathbb R))\to(\ell^2(\mathbb R;\mathbb K),\mathcal B(\ell^2(\mathbb R;\mathbb K)))</math>는 약가측 함수이지만, 가측 함수가 아니다. 우선, 임의의 <math>x\in\mathbb R</math>에 대하여,
:<math>\langle f,f(x)\rangle=f(x)\colon(\mathbb R,\mathcal L(\mathbb R))\to(\mathbb K,\mathcal B(\mathbb K))</math>
는 가측 함수이다. 또한, 비가측 집합 <math>A\subset\mathbb R</math>에 대하여,
:<math>B=\bigcup_{x\in A}\operatorname{ball}_{\ell^2(\mathbb R;\mathbb K)}(1,f(x))\subset\ell^2(\mathbb R;\mathbb K)</math>
는 [[열린집합]]이므로 가측 집합이지만, 그 원상
:<math>f^{-1}(B)=A</math>
는 가측 집합이 아니다.

== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용
|성=Billingsley
|이름=Patrick
|제목=Probability and Measure
|url=https://archive.org/details/probabilitymeasu0000bill
|언어=en
|판=3
|총서=Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics
|출판사=Wiley-Interscience
|위치=New York, N.Y.
|날짜=1995
|isbn=978-0-471-00710-4
}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Measurable function}}
* {{매스월드|id=MeasurableFunction|title=Measurable function}}

[[분류:측도론]]
[[분류:함수의 종류]]