가측 기수 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[집합론]]에서 '''가측 기수'''(可測基數, {{llang|en|measurable cardinal}})는 [[기본 매장]]으로 정의될 수 있는 [[기수 (수학)|기수]]이다. [[큰 기수]]의 하나이다.

== 정의 ==
=== 필터와 측도 ===
음이 아닌 [[확장된 실수]]의 집합 <math>S\subseteq[0,\infty]</math>에 대하여, 다음을 정의하자.<ref name="Jech"/>{{rp|129, (10.10)}}
:<math>\sum S=\sup_{{\scriptstyle S'\subseteq S\atop\scriptstyle|S'|<\aleph_0}}\sum S'\in[0,\infty]</math>

임의의 기수 <math>\kappa</math>와 <math>\kappa</math>-[[완비 불 대수]] <math>B</math> 및 <math>S\subseteq[0,\infty]</math>에 대하여, 함수 <math>\mu\colon B\to S</math>가 다음 조건들을 모두 만족시키면, <math>\mu</math>가 <math>\mathsf{Meas}(\kappa;B,S)</math> 조건을 만족시킨다고 하자.
* <math>\mu(\bot)=0</math>이다.
* (단조성) <math>a\le b</math>라면 <math>\mu(a)\le\mu(b)</math>이다.
* (<math>\kappa</math>-가법성) 임의의 <math>S\subseteq B</math>에 대하여, 만약 <math>|S|<\kappa</math>이며 임의의 <math>s,t\in S</math>에 대하여 <math>s\land t=\bot_B</math>라면, <math>\textstyle\mu\left(\bigvee S\right)=\sum\mu[S]</math>이다.
이 조건을 만족시키는 함수 <math>\mu</math>를 '''<math>B</math> 위의, <math>S</math> 값의 <math>\kappa</math>-가법 측도'''({{llang|en|<math>S</math>-valued <math>\kappa</math>-additive measure on <math>B</math>}})라고 하자.

이 개념은 다음 개념들을 일반화한다.
* [[측도]]: [[시그마 대수]] <math>\Sigma</math> 위의 [[측도]] <math>\mu\colon\Sigma\to[0,\infty]</math>는 <math>\mathsf{Meas}(\aleph_1;\Sigma,[0,\infty])</math>를 만족시키는 [[함수]]이다.
* [[극대 필터]]: <math>B</math> 위의 [[극대 필터]] <math>U\subseteq B</math>에 대하여, 함수 <math>\mu\colon B\to\{0,1\}</math>, <math>\textstyle \mu\colon b\mapsto\begin{cases}1&b\in U\\0&b\not\in U\end{cases}</math>를 정의하면, <math>\mu</math>는 <math>\mathsf{Meas}(\aleph_0;B,\{0,1\})</math>를 만족시킨다.

=== 가측 기수 ===
[[기수 (수학)|기수]] <math>\kappa</math>에 대하여, 다음 세 조건이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 기수를 '''가측 기수'''라고 한다.
* 크기가 <math>\kappa</math>인 집합 위에, [[주 필터]]가 아닌 <math>\kappa</math>-완비 [[극대 필터]]가 존재한다.<ref name="Jech">{{서적 인용 | last=Jech | first=Thomas | title=Set theory | url=https://archive.org/details/settheory0000jech_f7i4 | publisher= Springer-Verlag | series=Springer Monographs in Mathematics | 날짜=2003 | doi=10.1007/3-540-44761-X | issn= 1439-7382 | 판 = 3 | isbn= 978-3-540-44085-7 | zbl = 1007.03002 | 언어=en | id={{iaid|settheory0000jech_f7i4}}}}</ref>{{rp|127, Definition 10.3}}<ref name="Kanamori">{{서적 인용 | last=Kanamori | first=Akihiro | 저자링크=가나모리 아키히로 | 날짜=2003 | 출판사=Springer-Verlag | 제목=The higher infinite: large cardinals in set theory from their beginnings | 판=2판 | isbn=978-3-540-88866-6 | zbl = 1022.03033 | 총서 = Springer Monographs in Mathematics | issn = 1439-7382 | doi = 10.1007/978-3-540-88867-3 | 언어=en}}</ref>{{rp|26, §1.2}}
* [[멱집합]] <math>\operatorname{Pow}(\kappa)</math> 위에, <math>\mathsf{Meas}(\kappa;\operatorname{Pow}(\kappa),\{0,1\})</math>를 만족시키는 함수 <math>\mu\colon\operatorname{Pow}(\kappa)\to\{0,1\}</math>가 존재하며, 또한 임의의 <math>\alpha\in\kappa</math>에 대하여 <math>\mu(\{\alpha\})=0</math>이다. (이는 위 조건과 자명하게 동치이다.)
* <math>\kappa</math>는 [[폰 노이만 전체]] <math>V</math>로부터 ZFC의 [[표준 추이적 모형]] <math>M</math>으로 가는 [[기본 매장]]의 [[임계점 (집합론)|임계점]]이다.

임의의 기수 <math>\kappa</math>에 대하여, 만약 <math>\mathsf{Meas}(\kappa;\operatorname{Pow}(\kappa),[0,1])</math>를 만족시키는 [[확률 측도]] <math>\mu\colon\operatorname{Pow}(\kappa)\to[0,1]</math>가 존재하며, 또한 다음 두 조건이 추가로 성립한다고 하자.
* 만약 <math>\mu</math>가 [[한원소 집합]]을 0으로 대응시킨다. (즉, 임의의 <math>a\in\kappa</math>에 대하여 <math>\mu(\{a\})=0</math>이다.)
그렇다면 <math>\kappa</math>를 '''실가 가측 기수'''(實價可測基數, {{llang|en|real-valued measurable cardinal}})라고 한다.<ref name="Jech"/>{{rp|130, Definition 10.8}}<ref name="Kanamori"/>{{rp|24, §2.1}}

== 성질 ==
=== 함의 관계 ===
[[선택 공리]]를 추가한 [[체르멜로-프렝켈 집합론]]에서, 모든 가측 기수는 [[도달 불가능한 기수]]이며 또한 [[약콤팩트 기수]]이다.<ref name="Jech"/>{{rp|Lemma 10.18}} (그러나 선택 공리를 가정하지 않으면, 가측 기수가 따름기수일 수 있다.) 모든 [[강콤팩트 기수]]는 가측 기수이다.<ref name="Jech"/>{{rp|136, §10}} 즉, 다음과 같은 함의 관계가 존재한다.
:[[초콤팩트 기수]] ⇒ [[강콤팩트 기수]] ⇒ 가측 기수 ⇒ [[약콤팩트 기수]] ⇒ [[말로 기수]] ⇒ [[도달 불가능한 기수]] ⇒ [[정칙 기수]] ⇒ [[기수 (수학)|기수]] ⇒ [[순서수]]

모든 가측 기수는 실가 가측 기수이다. 가측 기수가 아닌 임의의 실가 가측 기수는 <math>2^{\aleph_0}</math> 이하이다.<ref name="Jech"/>{{rp|131, Corollary 10.10}}

=== 논리적 성질 ===
가측 기수 <math>\kappa</math>에 대하여, <math>V_\kappa</math> (크기가 <math>\kappa</math> 미만인 집합들로 구성된 [[폰 노이만 전체]]의 부분 집합)는 [[선택 공리]]를 추가한 [[체르멜로-프렝켈 집합론]](ZFC)의 [[구조 (논리학)|모형]]이다. 따라서, ZFC가 무모순적이라면 ZFC에서는 가측 기수의 존재를 증명할 수 없다. 또한, <math>V_\kappa</math>에서는 가측 기수가 존재하지 않으므로, 적어도 하나의 가측 기수가 존재한다면 ZFC + "가측 기수의 부재"는 [[무모순적]]이다.

만약 적어도 하나 이상의 비가산 가측 기수가 존재한다면, [[구성 가능성 공리]] <math>V=L</math>은 거짓이다.<ref>{{저널 인용|이름=Dana S.|성=Scott|저자링크=데이나 스콧|제목=Measurable cardinals and constructible sets|저널=Bulletin de l’Académie polonaise des sciences. Série des Sciences mathématiques, astronomiques et physiques|issn=0001-4117|권=9|날짜=1961|쪽=521–524|zbl=0154.00702|언어=en}}</ref>

=== 울람 행렬 ===
임의의 두 기수 <math>\kappa,\lambda</math>가 주어졌다고 하자.

<math>(\lambda,\kappa)</math>-'''울람 행렬'''은 다음 두 성질을 만족시키는 [[함수]]
:<math>A\colon \lambda\times\kappa\to \operatorname{Pow}(\lambda)</math>
:<math>A\colon (\alpha,\beta)\mapsto A_{\alpha,\beta}</math>
이다.<ref name="Jech"/>{{rp|131, Definition 10.11; 132, (10.14)}}
* 각 열의 성분들은 [[서로소 집합|서로소]]이다. 즉, 만약 <math>\alpha\ne\alpha'</math>라면, 임의의 <math>\beta<\lambda</math>에 대하여 <math>A_{\alpha,\beta}\cap A_{\alpha',\beta}=\varnothing</math>
* 각 행의 성분들의 [[합집합]]의 [[여집합]]의 크기는 <math>\kappa</math> 이하이다. 즉, 임의의 <math>\alpha<\lambda</math>에 대하여, <math>\textstyle|\lambda\setminus\bigcup_{\beta<\lambda}A_{\alpha,\beta}|<\kappa</math>이다.
만약 <math>(\kappa,\lambda)</math>가 주어지지 않았다면, <math>(\kappa,\lambda)=(\aleph_1,\aleph_0)</math>을 뜻한다.

==== 존재 ====
임의의 기수 <math>\kappa</math>에 대하여, <math>(\kappa^+,\kappa)</math>-울람 행렬이 존재한다.
<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''증명:'''
<div class="mw-collapsible-content">
각 <math>\xi\in\kappa^+</math>에 대하여, [[전사 함수]]
:<math>f_\xi\colon\kappa\to\xi</math>
를 고르자. 그렇다면, 행렬 <math>A_{\alpha,\beta}</math>를 다음과 같이 정의하자.
:<math>\xi\in A_{\alpha,\beta}\iff f_\xi(\beta)=\alpha</math>
그렇다면, <math>A</math>는 <math>(\kappa^+,\kappa)</math>-울람 행렬을 이룬다.
* 임의의 <math>\xi\in\kappa^+</math> 및 <math>\beta\in\kappa</math>에 대하여, <math>\xi\in A_{\alpha,\beta}</math>가 되는 유일한 <math>\alpha</math>는 <math>\alpha=f_\xi(\beta)</math>이다.
* 각 <math>\alpha\in\kappa^+</math>에 대하여, <math>\textstyle\kappa\setminus\bigcup_{\beta<\kappa}A_{\alpha,\beta}
=\kappa\setminus\{\xi\in\kappa^+\colon \alpha<\xi\}
=\min\{\alpha,\kappa\}</math>이다.
</div></div>

==== 측도와의 관계 ====
측도 <math>\mu\colon\Sigma\to[0,\infty]</math>의 '''원자'''({{llang|en|atom}})는 <math>\mu(S)>0</math>이지만 임의의 <math>S'<S</math>에 대하여 <math>\mu(S')=0</math>이 되는 원소 <math>S\in\Sigma</math>이다.

임의의 기수 <math>\lambda>\kappa\ge\aleph_0</math>가 주어졌다고 하자.

<math>(\lambda,\kappa)</math>-울람 행렬이 존재한다면, <math>\operatorname{Pow}(\lambda)</math> 위의 임의의 <math>\kappa^+</math>-가법 [[확률 측도]] <math>\Pr</math>는 항상 공집합이 아닌 원자를 갖는다. 즉,
:<math>\Pr(\{\alpha\})>0</math>
인 <math>\alpha\in\lambda</math>가 존재한다.
<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''증명:'''
<div class="mw-collapsible-content">
<math>A</math>가 울람 행렬이라고 하고, <math>\Pr</math>가 <math>\operatorname{Pow}(\lambda)</math> 위의 <math>\kappa^+</math>-가법 [[확률 측도]]라고 하자. [[귀류법]]을 사용하여, 임의의 <math>\alpha\in\lambda</math>에 대하여 <math>\Pr(\{\alpha\})=0</math>라고 하자.

그렇다면, 울람 행렬의 정의에 따라, 각 <math>\alpha<\lambda</math>에 대하여,
:<math>\Pr\left(\lambda\setminus\bigcup_{\beta<\kappa}A_{\alpha,\beta}\right)=0</math>
:<math>\Pr\left(\bigcup_{\beta<\kappa}A_{\alpha,\beta}\right)=1</math>
이다. 따라서, <math>\Pr(A_{\alpha,f(\alpha)})>0</math>인 <math>f(\alpha)<\kappa</math>가 존재한다. 이제, 각 <math>\beta\in\kappa</math>에 대하여
:<math>f^{-1}(\beta)=\{\alpha\in\lambda\colon f(\alpha)=\beta\}</math>
를 생각하자. <math>\lambda>\kappa\ge\aleph_0</math>이므로, <math>f^{-1}(\beta_0)=\lambda</math>인 <math>\beta_0\in\kappa</math>가 존재한다.

이제,
:<math>\mathcal U=(A_{\alpha,\beta_0})_{\alpha\in f^{-1}(\beta_0)}</math>
는 <math>\lambda</math> 개의, 양의 측도의 [[서로소 집합|서로소]] 집합들의 족이다. 이제, 다음 부분 집합들을 정의하자.
:<math>\forall m<\omega\colon\mathcal U_m=\{U\in\mathcal U\colon \Pr(U)>1/(m+1)\}</math>
그렇다면,
:<math>\bigcup_{m<\omega}\mathcal U_m=\mathcal U</math>
이므로, 이 가운데 <math>|\mathcal U_{m_0}|=\lambda</math>인 <math>m_0\in\omega</math>가 존재한다. 따라서,
:<math>\Pr\left(\bigcup\mathcal U_m\right)=\infty</math>
인데, 이는 [[확률 측도]] 조건과 모순이다.
</div></div>

특히, <math>\operatorname{Pow}(\omega_1)</math> 위의 임의의 (<math>\sigma</math>-가법) [[확률 측도]]는 원자를 갖는다. 따라서, 만약 [[연속체 가설]]이 성립한다면, 실수선 <math>\mathbb R</math> 위에, 모든 집합이 [[가측 집합]]이며, 원자가 존재하지 않는 [[확률 공간]] 구조는 존재하지 않는다.<ref name="Jech"/>{{rp|133, Corollary 10.17}}

== 역사 ==
가측 기수는 [[스타니스와프 울람]]이 1930년에 도입하였고, 가장 작은 가측 기수가 (만약 존재한다면) [[도달 불가능한 기수]]임을 증명하였다.<ref>{{저널 인용 | last=Ulam | first=Stanisław | 저자링크=스타니스와프 울람 | title=Zur Masstheorie in der allgemeinen Mengenlehre | url=http://pldml.icm.edu.pl/pldml/element/bwmeta1.element.bwnjournal-article-fmv16i1p14bwm | 날짜=1930 | journal=Fundamenta Mathematicae | issn=0016-2736 | volume=16 | 호=1 | pages=140–150|언어=de}}</ref><ref>{{저널 인용|제목=Learning from Ulam: measurable cardinals · ergodicity · biomathematics|이름=Jan|성=Mycielski|저자링크=얀 미치엘스키|url=http://library.lanl.gov/cgi-bin/getfile?15-09.pdf|저널=Los Alamos Science|날짜=1987|권=15|쪽=107–113|언어=en|확인날짜=2014-12-22|보존url=https://web.archive.org/web/20140909230353/http://library.lanl.gov/cgi-bin/getfile?15-09.pdf|보존날짜=2014-09-09|url-status=dead}}</ref>

실가 가측 기수는 [[스테판 바나흐]]가 1930년에 도입하였다.<ref>{{저널 인용 | last1=Banach | first1=Stefan | author1-link=스테판 바나흐 | title=Über additive Massfunktionen in abstrakten Mengen | url=http://kielich.amu.edu.pl/Stefan_Banach/pdf/oeuvres1/21.pdf | year=1930 | journal=Fundamenta Mathematicae | issn=0016-2736 | volume=15 | pages=97–101 | jfm=56.0920.03 | 언어=de | 확인날짜=2016-09-10 | 보존url=https://web.archive.org/web/20160920063306/http://kielich.amu.edu.pl/Stefan_Banach/pdf/oeuvres1/21.pdf# | 보존날짜=2016-09-20 | url-status=dead }}</ref><ref name="Jech"/>{{rp|138, §10}}

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Cardinal number}}
* {{nlab|id=measurable cardinal|title=Measurable cardinal}}
* {{웹 인용|url=http://cantorsattic.info/Measurable|제목=Measurable cardinal|웹사이트=Cantor’s Attic|이름=Joel David|성=Hamkins|이름2=Victoria|성2=Gitman|언어=en|확인날짜=2016-09-10|보존url=https://web.archive.org/web/20161001214848/http://cantorsattic.info/Measurable|보존날짜=2016-10-01|url-status=dead}}
* {{웹 인용|url=http://cantorsattic.info/Weakly_measurable|제목=Weakly measurable cardinal|이름=Joel David|성=Hamkins|이름2=Victoria|성2=Gitman|언어=en|확인날짜=2016-09-10|보존url=https://web.archive.org/web/20161001214829/http://cantorsattic.info/Weakly_measurable|보존날짜=2016-10-01|url-status=dead}}
* {{웹 인용|url=http://cantorsattic.info/Mitchell_rank|제목=Mitchell rank and the Mitchell order|이름=Joel David|성=Hamkins|이름2=Victoria|성2=Gitman|언어=en|확인날짜=2016-09-11|보존url=https://web.archive.org/web/20161001215137/http://cantorsattic.info/Mitchell_rank|보존날짜=2016-10-01|url-status=dead}}
* {{저널 인용|날짜=2013|저널=The Waterloo Mathematics Review|권=2|호=2|이름=Edgar A., IV|성=Bering|제목=A brief introduction to measurable cardinals|url=http://mathreview.uwaterloo.ca/archive/volii/2/measure-cardinality.pdf|issn=1927-1417|쪽=2–13|언어=en}}

{{집합론}}

{{전거 통제}}

[[분류:큰 기수]]
[[분류:측도론]]