가우스 합성 문서 원본 보기

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[[이차 형식]] 이론에서, '''가우스 합성'''(Gauß合成, {{llang|en|Gauss composition}})은 2항 [[이차 형식]]의 동치류 집합에 정의될 수 있는 [[아벨 군]] 구조이다.

== 정의 ==
=== 이차 형식 ===
[[가환환]] <math>R</math> 위의 2차 [[자유 가군]] <math>R^2</math> 위의 두 이차 형식
:<math>Q,Q'\colon R^2\to R</math>
이 다음 조건을 만족시킨다면 서로 '''동치'''라고 하자.
:<math>Q\sim Q'\iff\exists M\in\operatorname{GL}(2;R),r\in R^\times=\operatorname{GL}(1;R)\colon
rQ(M(-))=Q'</math>

이에 따라, 이차 형식은 사실 임의의 1차 <math>R</math>-[[자유 가군]] <math>L</math>의 값을 갖는 함수
:<math>Q\colon V\to L</math>
로 생각할 수 있다. 이와 같은 함수들의 공간은
:<math>Q\in\operatorname{Sym}^2_RV^*\otimes_RL
=L\otimes_R\frac{V^*\otimes_RV^*}{(u\otimes_Rv-v\otimes_Ru)_{u,v\in V^*}}
</math>
이다.

보다 일반적으로, 임의의 [[스킴 (수학)|스킴]] <math>(X,\mathcal O_X)</math> 위의 계수 2의 <math>\mathcal O_X</math>-[[국소 자유 가군층]] <math>V</math> 및 <math>\mathcal O_X</math>-[[가역층|가역]] [[가군층]] <math>L</math>이 주어졌을 때, <math>V</math> 위의 <math>L</math> 값의 '''이차 형식'''
:<math>Q\in\Gamma(X;\operatorname{Sym}^2_{\mathcal O_X}(V)\otimes_{\mathcal O_X}L)</math>
은 <math>\mathcal O_X</math>-[[가군층]] <math>\operatorname{Sym}^2_{\mathcal O_X}(V)\otimes_{\mathcal O_X}L</math>의 [[단면 (올다발)|단면]]이다.

==== 판별식 ====
만약 <math>R</math>가 [[국소환]]일 경우, 그 위의 2차 [[자유 가군]] <math>R^2</math> 위의 이차 형식
:<math>Q\colon R^2\to R</math>
:<math>Q(x,y)=ax^2+bxy+cy^2</math>
의 판별식은 <math>\operatorname{Disc}(Q)=b^2-4ac</math>이다.

보다 일반적으로, 스킴 <math>(X,\mathcal O_X)</math> 위의, 2차 <math>\mathcal O_X</math>-[[국소 자유 가군층]] <math>\mathcal M</math> 위의, <math>\mathcal O_X</math>-[[가역층]] <math>\mathcal L</math> 값의 이차 형식
:<math>Q\in\Gamma(\operatorname{Sym}^2_{\mathcal O_X}(M^*)\otimes_{\mathcal O_X}\mathcal L)</math>
의 판별식 <math>\operatorname{Disc}(Q)</math>는 국소적으로 위와 같이 주어지며, 대역적으로 이는 다음과 같은 <math>\mathcal O_X</math>-[[가역층]]의 대역적 [[단면 (올다발)|단면]]을 이룬다.
:<math>\operatorname{Disc}(Q)\in\Gamma\left(X;\left(\operatorname{Sym}^2_{\mathcal O_X}(M^*)\otimes_{\mathcal O_X}\mathcal L\right)^{\otimes2}\right)</math>

=== 이차 대수 ===
[[가환환]] <math>R</math> 위의 '''이차 대수'''({{llang|en|quadratic algebra}}) <math>R\to A</math>는 다음과 같은 가환  <math>R</math>-[[결합 대수]]이다.
* 임의의 [[소 아이디얼]] <math>\mathfrak p\in\operatorname{Spec}R</math>에 대하여 <math>A\otimes_RR_{\mathfrak p}</math>는 2차 <math>R_{\mathfrak p}</math>-[[자유 가군]]이다. (즉, <math>A</math>는 계수 2의 <math>R</math>-[[평탄 가군]]이다.)
<math>R</math> 위의 이차 대수 <math>A</math> 위의 [[가군]] <math>M</math>이 다음 조건을 만족시킨다면, '''대각합 가능 가군'''({{llang|en|traceable module}})이라고 한다.
* <math>M</math>은 <math>R</math> 위의 계수 2의 [[평탄 가군]]이다.
* 임의의 원소 <math>a\in A</math>에 대하여, 다음 두 함수가 일치한다.
*:<math>\operatorname{tr}_{A/R}\colon A\to R</math>
*:<math>\operatorname{tr}_{A/R}\colon a\mapsto\operatorname{tr}_R(a\cdot\colon A\to A)</math>
*:<math>\operatorname{tr}_{M/R}\colon A\to R</math>
*:<math>\operatorname{tr}_{M/R}\colon a\mapsto\operatorname{tr}_R(a\cdot\colon M\to M)</math>

보다 일반적으로, 임의의 [[스킴 (수학)|스킴]] <math>(X,\mathcal O_X)</math> 위의 '''이차 대수층'''은 <math>\mathcal O_X</math>-가환 대수층 가운데 2차 <math>\mathcal O_X</math>-[[국소 자유 가군층]]을 이루는 것이다. 이차 대수층 <math>\mathcal A</math> 위의 '''대각합 가능 가군층''' <math>\mathcal M</math>은 <math>\mathcal A</math>-[[가군층]] 가운데, 다음 두 조건을 만족시키는 것이다.
* <math>\mathcal O_X</math>-[[가군층]]으로서 계수 2의 [[국소 자유 가군층]]이다.
* 임의의 [[열린집합]] <math>U\subseteq X</math>의 단면 <math>a\in\Gamma(U;\mathcal A)</math>에 대하여, 다음 두 함수가 일치한다.
*:<math>\operatorname{tr}_{\mathcal A/\mathcal O_X}\colon \Gamma(U;\mathcal A)\to\Gamma(U;\mathcal O_X)</math>
*:<math>\operatorname{tr}_{\mathcal A/\mathcal O_X}\colon a\mapsto\operatorname{tr}_{\Gamma(U;\mathcal O_X)}(a\cdot\colon A\to A)</math>
*:<math>\operatorname{tr}_{\mathcal M/\mathcal O_X}\colon A\to R</math>
*:<math>\operatorname{tr}_{\mathcal M/\mathcal O_X}\colon a\mapsto\operatorname{tr}_{\Gamma(U;\mathcal O_X)}(a\cdot\colon M\to M)</math>

두 <math>A</math>-[[가군]] <math>M,M'</math>이 주어졌을 때, [[텐서곱]] <math>M\otimes_AM'</math>을 정의할 수 있으므로, <math>A</math>-[[가군]]들의 동형류들은 [[가환 모노이드]]를 이룬다. <math>A</math>-가역 가군 (즉, 1차원 [[자유 가군]])의 경우, 이는 [[아벨 군]]을 이룬다.

==== 판별식 ====
스킴 <math>(X,\mathcal O_X)</math> 위의 이차 대수층 <math>\mathcal A</math> 위의 대각합 가능 가군층 <math>\mathcal M</math>의 '''판별식'''은 대각합 사상
:<math>\operatorname{tr}_{\mathcal A/\mathcal O_X}\colon \mathcal A\to\mathcal O_X</math>
의 [[행렬식]]
:<math>\operatorname{Disc}(\mathcal A,\mathcal M)=\det\left(\operatorname{tr}_{\mathcal A/\mathcal O_X}\right)\in\Gamma\left(X;\left(\bigwedge^2\mathcal A\right)^{\otimes(-2)}\right)</math>
이다. 이는 <math>\mathcal O_X</math>-[[가역층]] <math>\textstyle\left(\bigwedge^2\mathcal A\right)^{\otimes(-2)}</math>의 대역적 [[단면 (올다발)|단면]]이다.

=== 가우스 합성 ===
임의의 [[가환환]] <math>R</math> 및 그 위의 2차 [[자유 가군]] <math>V=R^2</math>에 대하여, 다음 두 집합 사이에 표준적인 [[전단사 함수]]가 존재한다.
* <math>V</math> 위의 이차 형식들 <math>Q\colon V\to L</math>의 [[동치류]]들의 집합
* <math>R</math> 위의 이차 대수 <math>A</math>와 그 위의 대각합 가능 가군 <math>M</math>들의 동치류들의 집합
구체적으로, <math>(A,M)</math>이 주어졌을 때, 다음과 같은 자연스러운 <math>R</math>-[[가군 준동형]]을 생각하자.
:<math>(A/R)\otimes_R\bigwedge^2(M;R)\to\operatorname{Sym}^2(M;R)</math>
:<math>(a+R)\otimes_R(m\wedge_R m')\mapsto(am)\otimes_Rm'-m\otimes_R(am')</math>
이는 <math>R</math>-[[가군]]
:<math>\left((A/R)\otimes_R\bigwedge^2(M;R)\to\operatorname{Sym}^2(M;R)\right)^*\otimes_R\operatorname{Sym}^2(M;R)</math>
의 원소를 정의하며, 이는 <math>M^*</math> 위에 정의된,
:<math>L=\left((A/R)\otimes_R\bigwedge^2(M;R)\to\operatorname{Sym}^2(M;R)\right)^*</math>
값의 이차 형식을 이룬다.

또한, 이 대응성은 판별식을 보존한다. 이차 형식 <math>Q</math>가 원시 이차 형식({{llang|en|primitive quadratic form}})인 것은 <math>M</math>이 <math>A</math>-[[가역층]]을 이루는 것과 같으며, 따라서 주어진 판별식의 원시 이차 형식들은 [[텐서곱]]에 따라 [[아벨 군]]을 이룬다. 이를 '''가우스 합성'''이라고 한다.

== 예 ==
=== 정수환의 경우 ===
<math>\mathbb Z</math> 위의 이차 형식의 <math>\operatorname{GL}(2;\mathbb Z)\times\operatorname{GL}(1;\mathbb Z)</math>-동치류는 다음과 같은 구조와 대응한다.
* 2차 <math>\mathbb Z</math>-환 <math>A_D</math>. 이는 그 판별식 <math>D\in 4\mathbb Z+\{0,1\}</math>으로부터 다음과 같이 결정된다.
*:<math>A_D=\begin{cases}
\mathbb Z[t]/(t^2)&D=0\\
\mathbb Z\cdot(1,1)+\sqrt D(\mathbb Z^2)&\sqrt D\in\mathbb Z\setminus\{0\}\\
\mathbb Z\left[\frac{D+\sqrt D}2\right]&\sqrt D\not\in\mathbb Z
\end{cases}</math>
* <math>A</math>-[[가군]] <math>M</math> 가운데 [[아벨 군]]으로서 <math>\mathbb Z^2</math>이며, <math>\operatorname{tr}_{A/\mathbb Z}\colon A\to\mathbb Z</math>가 <math>\operatorname{tr}_{M/\mathbb Z}\colon A\to\mathbb Z</math>가 같은 것 (둘째 조건은 <math>M</math>이 <math>A</math>-[[아이디얼]]일 경우 자동적으로 충족된다).

특히, <math>D\ne0</math>일 때, <math>M</math>은 항상 <math>A_D</math>의 [[아이디얼]]과 동형이다. 그러나 <math>D=0</math>일 경우 일반적으로 <math>M</math>은 [[아이디얼]]로 나타낼 수 없다. 예를 들어, 값이 0인 [[상수 함수|상수]] 이차 형식의 경우 <math>A_0=\mathbb Z[t]/(t^2)</math>이며 <math>M=\mathbb Zx\oplus\mathbb Zy</math>, <math>tx=ty=0_M</math>이다.

<math>\mathbb Z</math> 위의 이차 형식의 <math>\operatorname{GL}(2;\mathbb Z)</math>-동치류를 분류하려면, <math>(A,M)</math> 및 <math>M</math>의 [[방향 (다양체)|방향]] <math>\epsilon\in\{\pm1\}</math>을 사용하여야 한다.<ref>{{서적 인용|장=Higher composition laws and applications|이름=Manjul|성=Bhargava|저자링크=만줄 바르가바|장url=http://www.mathunion.org/ICM/ICM2006.2/Main/icm2006.2.0271.0294.ocr.pdf|제목=Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Madrid, Spain, 2006. Volume 2|쪽=271–294|날짜=2007|출판사=European Mathematical Society|언어=en|access-date=2016-04-29|archive-date=2016-09-19|archive-url=https://web.archive.org/web/20160919085104/http://www.mathunion.org/ICM/ICM2006.2/Main/icm2006.2.0271.0294.ocr.pdf}}</ref>

=== 정역의 경우 ===
[[가환환]] <math>R</math>가 [[정역]]일 때, <math>R</math> 계수의 비퇴화 2항 이차 형식의 경우, 이에 대응하는 이차 대수 <math>A</math> 및 <math>A</math>-가군 <math>M</math>에 대하여, <math>M</math>은 항상 <math>A</math>의 [[아이디얼]]과 동형이다. 따라서, 이 경우 가군 대신 [[아이디얼]]들의 유군을 사용할 수 있다.

== 역사 ==
[[카를 프리드리히 가우스]]가 1801년에 도입하였다.<ref>{{서적 인용|이름=Carolus Fridericus|성=Gavss|저자링크=카를 프리드리히 가우스|제목=Disqvisitiones arithmeticae|출판사=in commissis apvd Gerh. Fleischer, Jun.|위치=[[라이프치히]]|날짜=1801|언어=la}}</ref> 가우스는 정수 계수 2항 이차 형식에 대하여 연구하였으나, 이는 그 뒤 임의의 [[가환환]] 계수<ref>{{저널 인용|이름=Martin|성=Kneser|제목=Composition of binary quadratic forms|저널=Journal of Number theory|권=15|호=3|쪽=406–413|날짜=1982-12|doi=10.1016/0022-314X(82)90041-5|issn=0022-314X|언어=en}}</ref> 및 [[스킴 (수학)|스킴]] 계수<ref>{{저널 인용|arxiv=1007.5285|제목=Gauss composition over an arbitrary base|이름=Melanie Eggers Matchett|성=Wood|doi=10.1016/j.aim.2010.08.018|저널=Advances in Mathematics|권=226|호=2|날짜=2011-01-30|쪽=1756–1771|bibcode=2010arXiv1007.5285M|issn=0001-8708|언어=en}}</ref>의 2항 이차 형식에 대하여 일반화되었다.

== 같이 보기 ==
* [[페르마 두 제곱수 정리]]
* [[르장드르 기호]]
== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용|url=https://www.math.wisc.edu/~mmwood/Publications/WoodthesisFinal.pdf|제목=Moduli spaces for rings and ideals|이름=Melanie Eggers Matchett|성=Wood|기타=박사 학위 논문 (지도 교수 [[만줄 바르가바]])|출판사=[[프린스턴 대학교]]|날짜=2009-06|언어=en}}{{깨진 링크|url=https://www.math.wisc.edu/~mmwood/Publications/WoodthesisFinal.pdf }}
* {{저널 인용|제목=Higher composition laws I: a new view on Gauss composition, and quadratic generalizations|url=http://annals.math.princeton.edu/wp-content/uploads/annals-v159-n1-p03.pdf|이름=Manjul|성=Bhargava|저자링크=만줄 바르가바|저널=Annals of Mathematics|권=159|호=1|쪽=217–250|날짜=2004|언어=en}}
* {{저널 인용|제목=Higher composition laws II: on cubic analogues of Gauss composition|url=https://archive.org/details/sim_annals-of-mathematics_2004-03_159_2/page/n404|이름=Manjul|성=Bhargava|저자링크=만줄 바르가바|저널=Annals of Mathematics|권=159|호=2|쪽=865–886|날짜=2004|언어=en}}
* {{저널 인용|제목=Higher composition laws III: the parametrization of quartic rings|url=https://archive.org/details/sim_annals-of-mathematics_2004-05_159_3/page/n446|이름=Manjul|성=Bhargava|저자링크=만줄 바르가바|저널=Annals of Mathematics|권=159|호=3|쪽=1329–1360|날짜=2004|언어=en}}
* {{저널 인용|제목=The origins of the genus concept in quadratic forms|url=http://www.math.umt.edu/tmme/vol6no1and2/TMME_vol6nos1and2_article12_pp.137_150.pdf|이름=Mark|성=Beintema|이름2=Azar|성2=Khosravani|날짜=2009|저널=The Montana Mathematics Enthusiast|issn=1551-3440|권=6|호=1–2|쪽=137–150|언어=en|확인날짜=2016년 4월 29일|보존url=https://web.archive.org/web/20150528170734/http://www.math.umt.edu/tmme/vol6no1and2/TMME_vol6nos1and2_article12_pp.137_150.pdf|보존날짜=2015년 5월 28일|url-status=dead}}
* {{저널 인용|제목=Paramétrisation de structures algébriques et densité de discriminants (d’après M. Bhargava)|이름=Karim|성=Belabas|날짜=2004-06|저널=Séminaire Bourbaki|issn=0303-1179|권=46|쪽=267–300|url=http://www.numdam.org/item?id=SB_2003-2004__46__267_0|mr=2167210|zbl=1090.11066|언어=fr}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Binary quadratic form}}
* {{웹 인용|url=https://gowers.wordpress.com/2014/08/15/icm2014-bhargava-laudatio/|제목=ICM2014 — Bhargava laudatio|이름=Timothy|성=Gowers|저자링크=윌리엄 티머시 가워스|날짜=2014-08-15|웹사이트=Gowers’s Weblog|언어=en}}

[[분류:이차 형식]]