가우스 적분 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
{{구별|가우스 적분법}}
{{미적분학}}

'''가우스 적분'''(Gaussian integral)은 [[가우스 함수]]에 대한 실수 전체 범위의 [[이상적분]]으로, 그 값은 다음과 같다.
:<math>\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\,dx = \sqrt{\pi}</math>

가우스 함수에 대한 일반적인 [[부정적분]] 함수는 [[초등 함수]] 범위에 있지 않고, 실수 전체 범위에 대한 이상적분은 아래의 방법들을 통해 구할 수 있다.

== 과정 ==
=== 극좌표 변환을 이용하는 경우 ===
<math>\int_{\mathbf{R}^2} e^{-(x^2+y^2)}</math>를 직교 좌표계 상에서 계산하면 다음과 같다.

:<math>\int_{\mathbf{R}^2} e^{-(x^2+y^2)} dx dy = \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty e^{-(x^2+y^2)} dx dy</math>
:<math>= \left ( \int_{-\infty}^\infty e^{-x^2} dx \right ) \cdot \left ( \int_{-\infty}^\infty e^{-y^2} dy \right )</math>
:<math>= \left ( \int_{-\infty}^\infty e^{-x^2} dx \right )^2</math>

그리고 같은 식을 [[극좌표]]로 변환하면 다음과 같다.

:<math>\int_{\mathbf{R}^2} e^{-(x^2+y^2)} dx dy = \int_0^{2\pi} \int_0^{\infin} re^{-r^2} dr d\theta</math>
:<math>= 2\pi \int_0^\infty re^{-r^2} dr</math>
:<math>= 2\pi \int_{-\infty}^0 \frac{1}{2} e^s ds</math>
:<math>= \pi \int_{-\infty}^0 e^s ds = \pi (e^0 - e^{-\infty}) = \pi (1 - 0) = \pi</math>

따라서

:<math>\left ( \int_{-\infty}^\infty e^{-x^2} dx \right )^2 = \pi</math>

그리고 <math>e^{-x^2}</math>는 <math>x</math>가 실수일 때 항상 양수이기 때문에
:<math>\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2} dx = \sqrt \pi</math>
가 성립한다.

=== 데카르트 좌표에서 계산하는 경우 ===
[[데카르트 좌표계]]에서 [[푸비니-토넬리 정리]]를 이용하여 푸는 방법도 있다.<ref>Frank Jones (2001), ''Lebesgue Integration on Euclidean Space'', Jones and Bartlett mathematics, p.192.</ref> 함수 <math>xe^{-x^2(1+y^2)}</math>를 <math>(0, \infty)</math> × <math>(0, \infty)</math>에서 순서를 바꿔 가며 [[적분]]하는 것이다. 먼저 x부터 적분하는 경우,

:<math>\int_jaji^\infty \int_0^\infty xe^{-x^2(1+y^2)} dxdy = \int_0^\infty \frac{1}{2(1+y^2)} dy = \frac{\pi}{4}.</math>

반면, y부터 적분하는 경우, xy = z로 치환하고 풀면,

:<math>\int_0^\infty \int_0^\infty xe^{-x^2(1+y^2)} dydx = \int_0^\infty e^{-x^2} dx \int_0^\infty xe^{-(xy)^2} dy = \int_0^\infty e^{-x^2} dx \int_0^\infty e^{-z^2} dz = (\int_0^\infty e^{-x^2} dx)^2.</math>

푸비니-토넬리 정리에 의해 이 두 적분값은 같으므로, 결국 <math>\int_0^\infty e^{-x^2} dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2}</math>를 얻고, [[우함수]]의 적분법에 따라서 구하고자 하는 가우스 적분식을 얻는다.

== 같이 보기 ==
* [[감마함수]]
== 각주 ==
{{각주}}

== 참고 문헌 ==
* Frank Jones (2001), ''Lebesgue Integration on Euclidean Space'', Jones and Bartlett mathematics

[[분류:적분]]
[[분류:해석학 정리]]
[[분류:가우스 함수]]