가우스 상수 문서 원본 보기

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[[수학]]에서 '''가우스 상수''' <math>G</math>는 1과 [[제곱근 2]]의 [[산술 기하 평균]]의 역수로 정의된다.

: <math> G = \frac{1}{\mathrm{agm}\left(1, \sqrt{2}\right)} = 0.8346268\dots.</math>

상수는 1799년 5월 30일 [[카를 프리드리히 가우스| 가우스(Carl Friedrich Gauss)]]의 이름을 딴 것이다.

: <math> G = \frac{2}{\pi}\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1 - x^4}} </math>

그래서,

: <math> G = \frac{1}{2\pi}\Beta\left( \tfrac{1}{4}, \tfrac{1}{2}\right)</math>
여기서 <math>B</math>는 [[베타 함수]]다.

가우스 상수는 [[가우스 인력상수]]와 혼동되어서는 안 된다.

== 다른 상수와의 관계 ==
가우스 상수는 <math>{1 \over 4}</math>에서 [[감마 함수]]를 표현하는 데 사용될 수 있다.

: <math> \Gamma\left( \tfrac{1}{4}\right) = \sqrt{ 2G \sqrt{ 2\pi^3 } } </math>
또는,

: <math> G = { {\left[\Gamma\left( \tfrac{1}{4}\right)\right]^2} \over {2\sqrt{ 2\pi^3}} }</math>

<math>\pi</math> 와 <math>\Gamma \left( {1 \over4} \right)</math>는 가우스 상수와 대수적으로 독립적이기 때문에 가우스 상수는 초월적이다.

== 렘니스케이트(Lemniscate) 상수 ==
가우스(Gauss) 상수는 [[베르누이의 렘니스케이트]]같은 렘니스케이트(염주형꼴) 상수의 정의에 사용될 수 있는데,

첫 번째는 다음과 같다.

: <math> L_1\;=\;\pi G </math>

및 두 번째 상수

: <math> L_2\,\,=\,\,\frac{1}{2G} </math>

렘니스케이트(염주형꼴)의 호 길이를 찾는 과정에서 발생한다.

== 같이 보기 ==
* [[수학 상수]]
* [[베르누이의 렘니스케이트]]
* [[베타 함수]]
* [[시에르핀스키 상수]]

== 참고 ==
* {{매스월드|urlname=GausssConstant|title=Gauss's Constant}}
* Sequences A014549 and A053002 in [[OEIS]]

[[분류:특수 함수]]
[[분류:수학 상수]]