가우스 법칙 문서 원본 보기

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{{전자기학}}
[[파일:Maxwell integral Gauss sphere.svg|섬네일|upright=1.2|가우스 법칙은 적분 형태로 주어졌을 때, 대칭성에 따라 전기장이 균일한 닫힌 표면을 찾을 수 있는 경우에 특히 유용된다. [[전기 선속]]은 그 표면적과 전기장의 세기의 곱으로 표현되며, 해당 표면에 포함된 총 전하에 비례한다. 여기서는 충전된 구체의 외부(''r'' > ''R'')와 내부(''r'' < ''R'')의 전기장을 계산한다.]]
[[파일:Gauss Sphere Charge Inside 2.svg|섬네일|upright=1.2|내부에 전하가 있는 구에 대한 가우스 법칙]]
'''가우스 법칙'''({{lang|en|Gauss's law}})은 [[단일폐곡선|폐곡면]]을 통과하는 [[전기 선속]]이 폐곡면 속의 알짜 전하량과 동일하다는 법칙이다. [[맥스웰 방정식]] 가운데 하나다.

== 정의 ==
가우스 법칙은 미분 형태와 적분 형태가 있다. 두 형태는 [[발산 정리]]에 대등하다.

가우스 법칙의 적분 형태는 다음과 같다.
: <math>\Phi = \oint_A \mathbf{D} \cdot d\mathbf{A} = Q_0</math>
여기서 <math>\mathbf D</math>는 [[변위장]](전속밀도), <math>d\mathbf{A}</math>는 표면 ''A'' 위의 미소 면적을 나타내는 벡터 (그 지점의 접평면에서 바깥쪽을 향하는 법선 벡터), <math>Q_0</math>는 폐곡면 속의 알짜 자유 전하량이다. <math>\oint_A</math>는 표면 ''A''전체에 대한 면적분이다.

가우스 법칙의 미분 형태는 다음과 같다.
:<math>\nabla \cdot \mathbf{D} = \rho_0</math>
여기서 <math>\nabla\cdot</math>는 [[발산 (벡터)|발산]] 연산자, <math>\mathbf D</math>는 [[변위장]](전속밀도), <math>\rho_0</math>는 자유 전하 밀도다.

위 공식은 자유 전하에 대한 가우스 법칙이다. 즉, <math>Q_0</math>와 <math>\rho_0</math>는 매질 속의 분극 전하를 포함하지 않는다. 분극 전하를 포함한 모든 전하에 대한 공식은 다음과 같다.
: <math>\Phi = \oint_A \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} = Q/\epsilon_0</math>
:<math>\nabla \cdot \mathbf{E} = \rho/\epsilon_0</math>.
여기서 <math>Q</math>는 알짜 전하 (분극 전하 포함), <math>\rho</math>는 전하 밀도 (분극 전하 포함)다. <math>\mathbf E=\mathbf D/\epsilon</math>는 [[전기장]]이다. <math>\epsilon_0</math>는 진공의 [[유전율]]로, 기본 상수다.

== 적용 ==
<math> E = { \sigma \over \epsilon_0 } </math>
(전도체 표면, σ는 단위면적당 [[전하]]량이다.)

<math> E = { \lambda \over 2 \pi \epsilon_0 r } </math>
(도선, λ은 단위길이당 전하량이고, r은 가우스 표면까지의 거리이다.)

<math> E = { \sigma \over 2 \epsilon_0 } </math> (면)

<math> E = {1 \over 4 \pi \epsilon_0} {q \over r^2}</math> (구 껍질 또는 꽉찬 구에서, r≥R인 구의 표면)

<math> E=0 </math> (구 껍질에서, r<R인 구의 표면)

<math> E = ({q \over 4 \pi \epsilon_0 R^3 })r </math> (꽉찬 구에서, r≤R인 구의 단위면적당 전하)

== 역사 ==
[[카를 프리드리히 가우스]]가 1835년에 발견하고, 1867년에 발표하였다.<ref>{{서적 인용|성=Bellone|이름=Enrico|연도=1980|제목=A World on Paper: Studies on the Second Scientific Revolution|url=https://archive.org/details/worldonpaperstud00enri|출판사=MIT Press|isbn=0262520818}}</ref>

== 각주 ==
{{각주}}

== 같이 보기 ==
* [[가우스 자기 법칙]]
* [[맥스웰 방정식]]
* [[발산 정리]]
* [[카를 프리드리히 가우스]]

[[분류:전자기학]]
[[분류:사람 이름을 딴 낱말]]
[[분류:카를 프리드리히 가우스]]
[[분류:맥스웰 방정식]]