가우스-뤼카 정리 문서 원본 보기

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[[복소해석학]]에서, '''가우스-뤼카 정리'''({{llang|en|Gauss–Lucas theorem}})는 [[복소수]] [[다항식]]의 [[임계점 (수학)|임계점]]이 영점의 [[볼록 껍질]]에 놓인다는 정리이다.

== 정의 ==
복소수 다항식 <math>p\in\mathbb C[z]</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 도함수 <math>p'</math>의 영점은 <math>p</math>의 영점의 볼록 껍질에 속한다. 이를 '''가우스-뤼카 정리'''라고 한다.

== 증명 ==
다음과 같은 명제를 보이는 것으로 족하다.<ref name="Ahlfors">{{서적 인용|성=Ahlfors|이름=Lars Valerian|저자링크=라르스 알포르스|제목=Complex analysis. An introduction to the theory of analytic functions of one complex variable|url=https://archive.org/details/complexanalysis0000ahlf|언어=en|판=3|총서=International Series in Pure and Applied Mathematics|출판사=McGraw-Hill Book Company|위치=[[뉴욕]]|날짜=1979|isbn=978-1-259-06482-1|mr=0510197|zbl=0395.30001|id={{iaid|complexanalysisi0000ahlf_v7n1}}}}</ref>
* 만약 <math>p</math>의 모든 영점이 어떤 [[반평면]] <math>H\subseteq\mathbb C</math>에 속한다면, <math>p'</math>의 모든 영점 역시 <math>H</math>에 속한다.
이를 위해 <math>p</math>의 (중복도를 고려한) 영점을 <math>a_1,\dots,a_n</math>이라고 하고, <math>a_1,\dots,a_n\in H</math>라고 하자. 또한 <math>z\in\mathbb C\setminus H</math>라고 하자. 그러면 <math>p(z)\ne 0</math>이므로, 다음이 성립한다.
:<math>\frac{p'(z)}{p(z)}=\sum_{k=1}^n\frac 1{z-a_k}</math>
이는 <math>p</math>에 로그를 취한 뒤 <math>z</math>에서의 도함수를 취하여 얻는다. <math>H</math>는 어떤 유향 직선 <math>t\mapsto a+bt</math>의 오른쪽 반평면이며, 다음과 같은 방정식을 갖는다.
:<math>H=\left\{z\in\mathbb C\colon\operatorname{Im}\frac{z-a}b<0\right\}</math>
따라서, 각 <math>k\in\{1,\dots,n\}</math>에 대하여, 다음이 성립한다.
:<math>\operatorname{Im}\frac{z-a_k}b=\operatorname{Im}\frac{z-a}b-\operatorname{Im}\frac{a_k-a}b>0</math>
역수의 허수부는 부호가 반대되므로, 다음이 성립한다.
:<math>\operatorname{Im}\frac b{z-a_k}<0</math>
이에 따라 다음이 성립한다.
:<math>\operatorname{Im}\frac{bp'(z)}{p(z)}=\sum_{k=1}^n\operatorname{Im}\frac b{z-a_k}<0</math>
즉, <math>p'(z)\ne 0</math>이다.

== 역사 ==
[[카를 프리드리히 가우스]]와 [[에두아르 뤼카]]가 각각 독립적으로 제시하였다.

== 같이 보기 ==
* [[마든 정리]]

== 참고 문헌 ==
{{각주}}
* {{서적 인용|저자=강승필|제목=『해설 복소함수론』|출판사=경문사|연도=2008|쪽=p.48}}

{{전거 통제}}

[[분류:복소해석학 정리]]
[[분류:볼록 해석]]