가약군 문서 원본 보기

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[[대수기하학]]에서 '''가약군'''(可約群, {{llang|en|reductive group}})은 그 [[군 표현론]]이 특별히 규칙적인 [[대수군]]이다. [[환의 표수|표수]]가 0인 경우, 기약군의 모든 표현은 [[기약 표현]]으로 완전히 분해된다.

== 정의 ==
[[대수적으로 닫힌 체]] <math>K</math>에 대한 선형 [[대수군]] <math>G</math>가 주어졌다고 하자. <math>G</math>의 '''근기'''({{llang|en|radical}}) <math>\sqrt G</math>는 단위원을 포함하는 [[연결 성분]] <math>G_0</math>의 최대 연결 [[가해군|가해]] 부분군이다. 근기는 항상 존재하며, 항상 닫힌 부분군이다. 만약 <math>G</math>의 근기가 [[자명군]]이라면,  <math>G</math>를 '''[[반단순 대수군]]'''({{llang|en|semisimple algebraic group}})이라고 한다.

그렇다면, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 <math>G</math>를 '''가약군'''이라고 한다.
* <math>G</math>의 근기 속에서, 1이 아닌 모든 원소들이 [[멱일원]]이 아니다.
* <math>G_0</math>는 [[반단순 대수군]]과 [[대수 원환면]]({{llang|en|algebraic torus}})의 곱이며, 이 두 군은 <math>G_0</math>의 닫힌 부분군을 이룬다.

== 성질 ==
만약 [[대수적으로 닫힌 체]]에 대한 [[대수군]]<math>G</math>의 모든 <math>K</math>-[[벡터 공간]] [[군의 표현|표현]]이 [[기약 표현]]들로 유일하게 분해된다면, <math>G</math>는 기약군이다. 그 역은 [[체의 표수|표수]] 0에서 성립하지만, 양의 표수에서는 성립하지 않는다.

만약 <math>K</math>가 [[체의 표수|표수]]가 0인 [[대수적으로 닫힌 체]]라면, 다음 세 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>G</math>는 가약군이다.
* <math>G</math>의 모든 <math>K</math>-[[벡터 공간]] [[군의 표현|표현]]은 [[기약 표현]]들로 유일하게 분해된다.
* <math>G</math>의 리 대수 <math>\mathfrak g</math>가 가약 리 대수이다. 즉, [[딸림표현]] <math>\mathfrak g</math>는 [[기약 표현]]들로 유일하게 분해된다.

복소수체에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>G</math>는 복소 가약군이다.
* <math>G</math>의 단위원의 [[연결 성분]] <math>G_0</math>은 [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[연결 공간|연결]] 실수 [[리 군]]의 복소화이다.

== 예 ==
[[대수적으로 닫힌 체]] <math>K</math>에 대하여, 다음과 같은 군들이 기약군이다.
* 곱셈군 <math>K^\times=K\setminus\{0\}</math>
* 대수 원환면 <math>(K^\times)^m</math>
* [[일반선형군]] <math>\operatorname{GL}(n;K)</math>. 이는 반단순군이 아니다.
* [[특수선형군]] <math>\operatorname{SL}(n;K)</math>. 이는 반단순군이다.
* <math>K</math>-[[이차 형식]] <math>Q</math>에 대하여, [[특수직교군]] <math>\operatorname{SO}(Q)</math>.
반면, 다음과 같은 군들은 가약군이 아니다.
* [[아벨 다양체]]는 선형 대수군이 아니므로 가약군이 아니다. 특수한 경우로, 덧셈군 <math>K</math>나 [[타원 곡선]]이 있다.

== 같이 보기 ==
* [[안정점]]
== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용 | last=Springer | first=Tonny A. | title=Linear algebraic groups | 출판사=Birkhäuser | 판=2판 | series=Progress in Mathematics |mr=1642713 | year=1998 | volume=9 | isbn= 978-0-8176-4839-8 | doi =  10.1007/978-0-8176-4840-4 | zbl = 1202.20048|언어=en}}
* {{저널 인용|이름=A.|성=Borel|저자링크=아르망 보렐|공저자=[[자크 티츠|J. Tits]]|제목=Groupes réductifs|저널=Publications Mathématiques de l’Institut des Hautes Études Scientifiques |권=27|호=1|날짜=1965|쪽=55–150|mr=0207712|zbl= 0145.17402|url=http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1965__27__55_0|doi=10.1007/BF02684375|issn=0073-8301|언어=fr}}
** {{저널 인용|이름=A.|성=Borel|저자링크=아르망 보렐|공저자=[[자크 티츠|J. Tits]]|제목=Compléments à l’article «Groupes réductifs»|저널=Publications mathématiques de l’IHÉS|url=http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1972__41__253_0|권=41|호=1|쪽=253–276|doi=10.1007/BF02715545|mr=315007|zbl=0254.14018|issn=0073-8301|언어=fr}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Reductive group}}
* {{웹 인용|url=http://www.konradvoelkel.com/2012/07/what-is-a-reductive-group/|제목=What is … a reductive group?|이름=Konrad|성=Voelkel|날짜=2012-07-19|언어=en}}

{{전거 통제}}

[[분류:대수군]]
[[분류:표현론]]