가법 함수 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[수론]]에서 '''가법 함수'''(加法函數, {{llang|en|additive function}})는 [[로그 함수]]와 유사한 항등식을 만족시키는 [[수론적 함수]]이다.

== 정의 ==
함수 <math>f\colon\mathbb Z^+\to\mathbb C</math>가 주어졌다고 하자.
* 만약 임의의 <math>m,n\in\mathbb Z^+</math>에 대하여, <math>\gcd\{m,n\}=1</math>일 경우에 <math>f(mn)=f(m)+f(n)</math>이라면, <math>f</math>를 '''가법 함수'''라고 한다.<ref name="Subbarao">{{저널 인용
|성=Subbarao
|이름=M. V.
|제목=A Class of Additive Functions
|언어=en
|저널=The American Mathematical Monthly
|권=75
|호=3
|쪽=257-260
|날짜=1968-03
|issn=0002-9890
|jstor=2314954
}}</ref>{{rp|257}}
* 만약 임의의 <math>m,n\in\mathbb Z^+</math>에 대하여, <math>f(mn)=f(m)+f(n)</math>이라면, <math>f</math>를 '''완전 가법 함수'''라고 한다.

== 성질 ==
만약 <math>f\colon\mathbb Z^+\to\mathbb C</math>가 가법 함수라면, <math>f(1)=0</math>이다.<ref name="Subbarao" />{{rp|257}}

만약 <math>f\colon\mathbb Z^+\to\mathbb C</math>가 가법 함수라면, <math>n\in\mathbb Z^+</math>의 소인수 분해가
:<math>n=\prod_pp^{n_p}</math>
라면, 다음이 성립한다.<ref name="Subbarao" />{{rp|258}}
:<math>f(n)=\sum_pf(p^{n_p})</math>

== 예 ==
다음과 같은 함수들은 완전 가법 함수이다.
* 양의 정수로 제한된 [[로그 함수]] <math>n\mapsto\ln n</math>
* 중복도를 고려한 소인수의 개수 <math>n\mapsto\Omega(n)</math> {{OEIS|A001222}}
* 중복도를 고려한 소인수의 합 <math>n\mapsto\operatorname{sopfr}(n)</math> {{OEIS|A001414}}

다음과 같은 함수들은 가법 함수이지만, 완전 가법 함수가 아니다.
* 서로 다른 소인수의 개수 <math>n\mapsto\omega(n)</math> {{OEIS|A001221}}
* 서로 다른 소인수의 합 <math>n\mapsto\operatorname{sopf}(n)</math> {{OEIS|A008472}}

== 같이 보기 ==
* [[곱셈적 함수]]

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Additive arithmetic function}}
* {{매스월드|id=AdditiveFunction|title=Additive function}}

{{전거 통제}}

[[분류:수론적 함수]]