가군의 길이 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[환론]]에서, [[가군]]의 '''길이'''({{llang|en|length}})는 [[가군]]의 크기를 나타내는 측도이며, [[벡터 공간]]의 차원의 일반화이다.

== 정의 ==
[[부분 순서 집합]] <math>(P,\le)</math>의 '''길이''' <math>\operatorname{length}P</math>는 <math>P</math>의 부분 집합 가운데 [[전순서 집합]]인 것의 크기의 최댓값 빼기 1이다. 즉, 다음과 같다.
:<math>\operatorname{length}P=\sup\left\{n\colon x_0<x_1<\cdots<x_n,\;\{x_0,\dots,x_n\}\subseteq P\right\}\in\mathbb Z^+\cup\{0,\infty\}</math>

<math>R</math>가 (곱셈 항등원을 갖는) [[환 (수학)|환]]이라고 하고, <math>M</math>이 <math>R</math>의 [[왼쪽 가군]]이라고 하자. 그렇다면 <math>M</math>의 '''길이'''는 <math>M</math>의 부분 가군의 [[격자 (순서론)|격자]] <math>\operatorname{Sub}(M)</math>의 길이이다.
:<math>\operatorname{length}M=\operatorname{length}\operatorname{Sub}(M)=\sup\{n\colon 0=M_0\subsetneq M_1\subsetneq\cdots\subsetneq M_n=M\}\in\mathbb Z^+\cup\{0,\infty\}</math>
[[오른쪽 가군]]에 대해서도 마찬가지로 길이를 정의할 수 있다.

보다 일반적으로, [[아벨 범주]] <math>\mathcal A</math>의 대상 <math>M\in\mathcal A</math>의 '''길이'''는 <math>M</math>의 [[부분 대상]] [[격자 (순서론)|격자]] <math>\operatorname{Sub}(M)</math>의 길이이다.

== 예 ==
길이가 0인 가군은 영가군밖에 없다. 길이가 1인 가군은 [[단순 가군]]이라고 한다.

가군의 길이가 유한하다는 것은 가군이 [[아르틴 가군]]이자 [[뇌터 가군]]이라는 것과 [[동치]]이다.

<math>R</math>에 대한 [[왼쪽 가군]]의 [[짧은 완전열]]
:<math>0\to L\hookrightarrow M\twoheadrightarrow N\to0</math>
이 있다고 하자. 그렇다면
:<math>\operatorname{length}L+\operatorname{length}N=\operatorname{length}M</math>
이다.

체 <math>K</math>에 대한 유한 차원 [[벡터 공간]] <math>V</math>의 길이는 벡터 공간으로서의 차원과 같다. (무한 차원 벡터 공간의 길이는 무한대이다.)

== 같이 보기 ==
* [[인자 (대수기하학)]]
* [[바이어슈트라스의 곱 정리]]
* [[힐베르트 스킴]]

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Length of a partially ordered set}}
* {{매스월드|id=ModuleLength|title=Module length}}
* {{nlab|id=object of finite length|title=Object of finite length}}

{{전거 통제}}

[[분류:가군론]]