확률 흐름

틀:위키데이터 속성 추적 틀:접이식 사이드바 확률 흐름(틀:Lang)은 양자역학에서 확률 밀도의 흐름의 정도를 나타내는 값이다.

도입

시간당 확률밀도의 변화를 구해보면,

$\frac{\partial }{\partial t}P(x,t)=\frac{\partial }{\partial t}|\psi (x,t){|}^2=\frac{\partial }{\partial t}{\psi }^{\ast }\psi =\frac{\partial {\psi }^{\ast }}{\partial t}\psi +{\psi }^{\ast }\frac{\partial \psi }{\partial t}$

여기에 슈뢰딩거 방정식을 대입하면

$\frac{\partial }{\partial t}P(x,t)$	$=\frac{\partial {\psi }^{\ast }}{\partial t}\psi +{\psi }^{\ast }\frac{\partial \psi }{\partial t}$
	$=\frac{1}{i\hslash }\frac{{\hslash }^2}{2m}(\frac{{\partial }^2{\psi }^{\ast }}{\partial x^2}\psi -{\psi }^{\ast }\frac{{\partial }^2\psi }{\partial x^2})$
	$=-\frac{\partial }{\partial x}\left[\frac{\hslash }{2im}({\psi }^{\ast }\frac{\partial \psi }{\partial x}-\frac{\partial {\psi }^{\ast }}{\partial x}\psi )\right]$

을 얻는다. 여기서 확률의 시간 미분이 어떤 값의 좌표 미분값과 같으므로 이 값을 일종의 흐름으로 생각할 수 있다.

정의

확률흐름은 수학적으로 다음과 같이 정의된다.

$j(x,t)=\frac{\hslash }{2im}({\psi }^{\ast }\frac{\partial \psi }{\partial x}-\frac{\partial {\psi }^{\ast }}{\partial x}\psi )$

성질

확률밀도와 확률흐름은 아래와 같은 관계를 지니고 있다.

$\frac{\partial }{\partial t}P(x,t)+\frac{\partial }{\partial x}j(x,t)=0$