분모의 실수화

틀:위키데이터 속성 추적 분모의 실수화는 분모에 허수 또는 복소수가 있을 때 그 켤레복소수를 곱하여 분모를 실수로 고치는 과정을 의미한다.

이때, 분모가 무리수가 된다면 또 번거롭겠지만, 분모의 유리화를 해 주어야 한다.

예

$\frac{1}{i}=$ $i$의 켤레복소수는 $\bar{i}=-i$이므로 $\frac{1}{i}=\frac{1}{i}\times \frac{-i}{-i}=\frac{1\times -i}{-i^2}=\frac{-i}{1}=-i$와 같이 분모가 실수화가 된다.

또, $\frac{1}{-i}$는 $\overline{-i}=i$이므로 $\frac{1}{-i}\times \frac{i}{i}=\frac{1\times i}{-i^2}=\frac{i}{1}=i$와 같이 된다.

예(2)

$\frac{4+7i}{4-7i}=\frac{4+7i}{4-7i}\times \frac{4+7i}{4+7i}=\frac{(4+7i{)}^2}{(4+7i)(4-7i)}=\frac{16+56i-49}{4^2-(7i{)}^2}=\frac{56i-33}{16+49}=\frac{56i-33}{65}$.

실수화 공식

분모의 실수화를 할 때의 공식은 $a,b\ne 0,a,b,c,d\in ℝ$일 때, $\frac{c+di}{a+bi}=\frac{(c+di)(a-bi)}{(a+bi)(a-bi)}=\frac{ac+(ad-bc)i+bd}{a^2+b^2},i=\sqrt{-1}$이다.

위의 3개의 예시를 이 공식으로 실수화하면,

1. $\frac{1}{i}=\frac{1\times -i}{i\times -i}=\frac{-i}{-i^2}=\frac{-i}{1}=-i$이다.

2. $\frac{1}{-i}=\frac{1\times i}{-i\times i}=\frac{i}{-i^2}=\frac{i}{1}=i$이다.

3. $\frac{4+7i}{4-7i}=\frac{16+(28-(-28))i-49}{4^2+(-7{)}^2}=\frac{-33+56i}{65}$이다.

따라서 이 공식을 무작정 외우기보다는 이해하려고 해야 하고, 이해하는데 오래 걸리더라도 외우려고만 하지 않으면 된다.