구형성

틀:위키데이터 속성 추적 구형도(球形度, 틀:Llang)는 어떤 물체의 모양이 구와 얼마나 닮았는지를 나타내는 지표다. 예를 들어, 베어링에 들어가는 베어링 볼의 구형도는 베어링의 품질을 결정한다.

1935년, 헤이컨 워들(Hakon Wadell)에 의해 처음으로 정의되었다.^[1]

구형도 $Ψ$ 는 물체의 겉넓이 대비 구의 겉넓이 비율이며, 여기서 구와 물체의 부피는 같다.

물체 $p$ 의 겉넓이를 $A_{p}$ , 부피를 $V_{p}$ 라고 할 때,

$Ψ = \frac{π^{\frac{1}{3}} (6 V_{p})^{\frac{2}{3}}}{A_{p}}$

로 정의하며, 1보다 클 수 없다.

유도

물체와 동일한 부피를 가지는 구 $s$ 의 겉넓이를 $A_{s}$ , 부피를 $V_{s}$ 라고 하고, 그의 반지름을 $r$ 이라고 하면,

$V_{s} = \frac{4}{3} π r^{3} = V_{p}$

양 변에 $6 π^{\frac{1}{2}}$ 를 곱하면, $8 π^{\frac{3}{2}} r^{3} = π^{\frac{1}{2}} \cdot 6 V_{p}$

양 변을 $\frac{2}{3}$ 제곱하면, $4 π r^{2} = π^{\frac{1}{3}} (6 V_{p})^{\frac{2}{3}} = A_{s}$

마지막으로 구형도를 계산하면, $Ψ = \frac{A_{s}}{A_{p}} = \frac{π^{\frac{1}{3}} (6 V_{p})^{\frac{2}{3}}}{A_{p}}$

위 식에서 상수 부분을 분리하면 다음과 같다.

$Ψ = (36 π)^{\frac{1}{3}} \times \frac{V_{p}^{\frac{2}{3}}}{A_{p}} \approx 4.836 \times \frac{V_{p}^{\frac{2}{3}}}{A_{p}}$

물체	부피 ( $V_{p}$ )	겉넓이 ( $A_{p}$ )	구형도 ( $Ψ$ )
구	$\frac{4}{3} π r^{3}$	$4 π r^{2}$	$1$
정이십면체	$\frac{5}{12} (3 + \sqrt{5}) s^{3}$	$5 \sqrt{3} s^{2}$	$\approx 0.939$
정십이면체	$\frac{1}{4} (15 + 7 \sqrt{5}) s^{3}$	$3 \sqrt{25 + 10 \sqrt{5}} s^{2}$	$\approx 0.910$
정팔면체	$\frac{1}{3} \sqrt{2} s^{3}$	$2 \sqrt{3} s^{2}$	$\approx 0.846$
반구	$\frac{2}{3} π r^{3}$	$3 π r^{2}$	$\approx 0.840$
정육면체	$s^{3}$	$6 s^{2}$	$\approx 0.806$
정사면체	$\frac{\sqrt{2}}{12} s^{3}$	$\sqrt{3} s^{2}$	$\approx 0.671$