클리퍼드 대수

환론에서 클리퍼드 대수(Clifford代數, 틀:Llang)는 이차 형식에 의하여 정의되는 결합 대수의 한 종류이다. 복소수체와 사원수환의 일반화이며, 외대수의 양자화로 여길 수 있다.

정의

클리퍼드 대수의 개념은 다양하게 정의될 수 있다.

• 추상적으로 어떤 보편 성질을 통해 정의될 수 있다.
• 구체적으로 텐서 대수의 몫대수로 정의될 수 있다.

보편 성질을 통한 정의

가환환 $K$ 위의 가군 $V$ 위의 이차 형식 $Q:V\to K$가 주어졌다고 하자. 그렇다면 클리퍼드 대수 $\mathrm{Cliff}(V,Q)$는 다음 공리를 만족시키는, $V$를 포함하는 가장 일반적인 $K$-단위 결합 대수다.

$v^2=Q(v)\mathrm{\forall }v\in V$

즉, 범주론적으로 클리퍼드 대수는 다음과 같은 보편 성질을 만족시킨다. $K$ 위의 단위 결합 대수들의 범주 ${\mathrm{uAssocAlg}}_K$에서, $j(v{)}^2=Q(v)1_A\mathrm{\forall }v\in V$를 만족시키는 임의의 대수 $(A,j:V\to A)$가 주어지면, 다음 그림을 가환시키는 유일한 대수 준동형 $f:\mathrm{Cliff}(V,Q)\to A$가 존재한다.

$\begin{array}{ccc}V& \stackrel{i}{\to }& \mathrm{Cliff}(V,Q)\\ & j\searrow & \downarrow \mathrm{\exists }!f\\ & & A\end{array}$

여기서 $i:V\to \mathrm{Cliff}(V,Q)$는 보통 생략한다.

이는 이차 공간(이차 형식을 갖춘 가군)의 범주 ${\mathrm{QMod}}_K$에서 단위 결합 대수의 범주로 가는 함자를 정의한다.

$\mathrm{Cliff}:{\mathrm{QMod}}_K\to {\mathrm{uAssocAlg}}_K$

(${\mathrm{QMod}}_K$의 사상은 가군 준동형 $\varphi :M\to N$ 가운데 $Q_M=\varphi \circ Q_N$인 것이다.)

텐서 대수를 통한 구성

클리퍼드 대수는 구체적으로 다음과 같다.

$\mathrm{Cliff}(V,Q;K)=\mathrm{T}(V;K)/𝔦(Q)$

여기서 $\mathrm{T}(V;K)$는 $V$에 대한 $K$-텐서 대수

$\mathrm{T}(V;K)=\underset{n=0}{\overset{\mathrm{\infty }}{⨁}}{V}^{\otimes n}=K\oplus V\oplus V{\otimes }_{K}V\oplus V{\otimes }_{K}V{\otimes }_{K}V+\cdots$

이며,

$𝔦(Q)=(v\otimes v-Q(v){)}_{v\in V}=\{w(\sum _{i=1}^n{v}_i\otimes v_i-Q(v_i))w^{\prime }:w,w^{\prime }\in {\mathrm{T}}_K(V),n\in \mathbb{N},v_1,\dots ,v_n\in V\}$

는 $\{v\otimes v-Q(v):v\in V\}$에 의하여 생성되는 양쪽 아이디얼이다.

이 경우

$uv+vu=(u+v{)}^2-u^2-v^2=Q(u+v)-Q(u)-Q(v)$

이므로, 두 벡터 원소의 반교환자는 $Q$의 연관 쌍선형 형식과 같다.

등급과 여과

텐서 대수 $\mathrm{T}(V;K)$는 자연스러운 자연수 등급을 갖는다.

$\mathrm{T}(V;K)=\underset{n=0}{\overset{\mathrm{\infty }}{⨁}}{\mathrm{T}}^n(V;K)$

클리퍼드 대수는 텐서 대수의 몫인데, 이 경우 몫을 취하는 아이디얼(로 정의되는 동치 관계)은 일반적으로 자연수 등급을 보존하지 않는다. 다만, 이 아이디얼은 $\mathbb{Z}/2$ 등급을 보존한다. 즉,

${\mathrm{T}}^{+}(V;K)=\underset{n=0}{\overset{\mathrm{\infty }}{⨁}}{\mathrm{T}}^{2n}(V;K)$

${\mathrm{T}}^{-}(V;K)=\underset{n=0}{\overset{\mathrm{\infty }}{⨁}}{\mathrm{T}}^{2n+1}(V;K)$

을 정의했을 때, 클리퍼드 대수를 구성하는 아이디얼은 위 $\mathbb{Z}/2$ 구조를 보존하며, 따라서 클리퍼드 대수는 $K$ 위의 $\mathbb{Z}/2$-등급 대수를 이룬다.

${\mathrm{Cliff}}^{+}(V;K)=\frac{{\mathrm{T}}^{+}(V;K)}{𝔦(Q)}$

${\mathrm{Cliff}}^{-}(V;K)=\frac{{\mathrm{T}}^{-}(V;K)}{𝔦(Q)}$

특히, 클리퍼드 대수 $\mathrm{Cliff}(V,Q;K)$에서, 짝수 등급 부분 대수 ${\mathrm{Cliff}}^{+}(V,Q;K)$ 역시 클리퍼드 대수를 이룬다. 만약

$V={\mathrm{Span}}_K\{a\}\oplus U$

$Q(ta+u)=t^{2}Q(a)+Q{|}_U(u)\mathrm{\forall }t\in K,u\in U$

$Q(a)\ne 0$

라면,

${\mathrm{Cliff}}^{+}(V,Q;K)\cong \mathrm{Cliff}(U,-Q(a)Q{|}_U;K)$

이다.

비록 텐서 대수의 자연수 등급은 등급으로서 살아남지 못하지만, 이는 클리퍼드 대수 위의 자연수 오름 여과를 정의한다. 구체적으로, 텐서 대수 $\mathrm{T}(V;K)$의 등급으로 정의되는 오름 여과

$F^n\mathrm{T}(V;K)=\underset{m\le n}{⨁}{\mathrm{T}}^m(V;K)=K\oplus V\oplus V{\otimes }_{K}V\oplus \cdots V^{{\otimes }_{K}n}$

를 생각하자. 그렇다면,

$K=F^0\mathrm{T}(V;K)\subseteq F^1\mathrm{T}(V;K)\subseteq F^2\mathrm{T}(V;K)\subseteq \cdots$

이다. 클리퍼드 대수를 정의하는 아이디얼 $𝔦(Q)$은 이 여과와 호환된다. 구체적으로, $(F^n\mathrm{T}(V;K)\cap 𝔦(Q))/{\mathrm{F}}^{n+1}\mathrm{T}(V;K)$는 $F^n\mathrm{T}(V;K)/F^{n+1}\mathrm{T}(V;K)$의 아이디얼을 이룬다. 따라서, 자연스럽게 몫대수 $\mathrm{Cliff}(V,Q;K)$ 위에도 여과

$F^n\mathrm{Cliff}(V,Q;K)=\underset{m\le n}{⨁}{\mathrm{T}}^m(V;K)/𝔦(Q)$

가 존재하며, 따라서 클리퍼드 대수는 자연수 오름 여과를 갖는다.

이 여과로부터 정의되는 자연수 등급 대수는 외대수와 표준적으로 동형이다.

$\underset{n=0}{\overset{\mathrm{\infty }}{⨁}}\frac{F^n\mathrm{Cliff}(V,Q;K)}{F^{n-1}\mathrm{Cliff}(V,Q;K)}\cong \mathrm{\Lambda }(V;K)$

대합

가환환 $K$ 위의 클리퍼드 대수 $\mathrm{Cliff}(V,Q;K)$ 위에, 다음과 같은 자기 동형이 존재한다.

$\alpha :v_1{v}_2\cdots v_k\mapsto (-{)}^k{v}_1{v}_2\cdots v_k(\mathrm{\forall }{v}_1,v_2,\dots ,v_k\in V)$

(만약 가환환 $K$의 표수가 2라면 이는 항등 함수이다.) ${\alpha }^2$는 항등 함수이므로 이는 대합을 이룬다.

마찬가지로, $\mathrm{Cliff}(V,Q;K)$ 위에 다음과 같은 반자기 동형(틀:Llang)이 존재한다.

$(-{)}^{\mathrm{\top }}:\mathrm{Cliff}(V,Q;K)\mapsto \mathrm{Cliff}(V,Q;K{)}^{\mathrm{op}}$

$(-{)}^{\mathrm{\top }}:v_1{v}_2\cdots v_k\mapsto v_k\cdots v_2{v}_1(\mathrm{\forall }{v}_1,v_2,\dots ,v_k\in V)$

(여기서 $(-{)}^{\mathrm{op}}$는 반대환을 뜻한다.) $\alpha$와 $(-{)}^{\mathrm{\top }}$는 서로 가환하며, 이 둘을 합성하면 다음과 같은 클리퍼드 수반(틀:Llang)을 얻는다.

$\overline{x}=\alpha (x^{\mathrm{\top }})=(\alpha (x){)}^{\mathrm{\top }}$

$x\mapsto x^{\mathrm{\top }}$와 $x\mapsto \overline{x}$ 역시 대합을 이룬다.

이 연산들은 $\mathbb{N}$ 등급이 $k$인 원소 $x$에 대하여 다음과 같다.

$\alpha (x)=(-{)}^{k}x$

$x^{\mathrm{\top }}=(-{)}^{k(k-1)/2}x$

$\overline{x}=(-{)}^{k(k+1)/2}x$

즉, 이는 $kmod4$에 대하여 다음과 같이 의존한다.

연산	$k\equiv 0(\mathrm{mod}4)$	$k\equiv 1(\mathrm{mod}4)$	$k\equiv 2(\mathrm{mod}4)$	$k\equiv 3(\mathrm{mod}4)$
$\alpha (x)$	$+x$	$-x$	$+x$	$-x$
$x^{\mathrm{\top }}$	$+x$	$+x$	$-x$	$-x$
$\overline{x}$	$+x$	$-x$	$-x$	$+x$

노름과 내적

가환환 $K$ 위의 클리퍼드 대수 $\mathrm{Cliff}(V,Q;K)$ 위에 다음과 같은 쌍선형 형식 및 이차 형식을 정의할 수 있다.

$⟨x,y⟩=⟨x^{\mathrm{\top }}y⟩$

$\tilde{Q}(x)=⟨x^{\mathrm{\top }}x⟩$

여기서 $⟨-⟩$은 $\mathbb{N}$ 등급에서, 등급 0의 성분으로의 사영을 뜻한다.

이는 다음 성질을 만족시킨다.

$⟨x,ay⟩=⟨a^{\mathrm{\top }}x,y⟩$

성질

만약 $Q$가

$V=U\oplus W$

$Q(u+w)=Q(u)\mathrm{\forall }u\in U,w\in W$

라면 (즉, $Q{|}_W=0$라면),

$\mathrm{Cliff}(V,Q;K)\cong \mathrm{\Lambda }(W;K){\hat{\otimes }}_K\mathrm{Cliff}(U,Q;K)$

가 된다. 따라서, 만약 $V$가 반단순 가군이라면 $V\cong (\mathrm{rad}Q)\oplus V/(\mathrm{rad}Q)$이므로 위와 같은 분해를 사용할 수 있다. 따라서, $V$가 반단순 가군일 때 클리퍼드 대수의 분해는 $Q$가 비특이 이차 형식인 경우로 귀결된다. 특히, $K$가 체(또는 유한 개의 체들의 직접곱)라면, 모든 가군은 반단순 가군이 되므로 위와 같은 분해를 사용할 수 있다.

$K$가 체이며, $V$가 그 위의 유한 차원 벡터 공간이고, 그 차원이 $n$이라고 하자. 그렇다면, 클리퍼드 대수 $\mathrm{Cliff}(V,Q;K)$는 $2^n$차원 벡터 공간이다. $\{e_i{\}}_{i=1,\dots ,n}$이 $V$의 기저라고 하자. 그렇다면 $\mathrm{Cliff}(V,Q;K)$의 기저는 다음과 같이 주어진다.

$\{e_{i_1}{e}_{i_2}\cdots e_{i_k}|1\le i_1<i_2<\cdots <i_k\le n\}$

외대수와의 관계

체 $K$ 위의 클리퍼드 대수 $\mathrm{Cliff}(V,Q;K)$는 $K$-가군으로서 외대수 ${\mathrm{\Lambda }}_K(V)$와 동형이다. 만약 $Q=0$일 경우 $\mathrm{Cliff}(V,0;K)$는 외대수 $\mathrm{\Lambda }(V;K)$와 대수로서 동형이지만, $Q\ne 0$일 경우 외대수와 대수로서 다르다. 따라서, 클리퍼드 대수는 외대수의 일종의 양자화로 생각할 수 있다.

환론적 성질

가환환 $K$ 위의 유한 생성 사영 가군 $M$ 위의 비퇴화 이차 형식 $Q$의 클리퍼드 대수 $\mathrm{Cliff}(M,Q;K)$는 등급 아즈마야 대수(틀:Llang)이다.틀:Rp 또한, 만약 모든 소 아이디얼 $𝔭\in \mathrm{Spec}K$에 대하여 $M{\otimes }_K{K}_{𝔭}$가 짝수 계수 $K_{𝔭}$-자유 가군이라면, $\mathrm{Cliff}(M,Q;K)$는 짝수형 등급 아즈마야 대수이며, 반대로 만약 모든 소 아이디얼 $𝔭\in \mathrm{Spec}K$에 대하여 $M{\otimes }_K{K}_{𝔭}$가 홀수 계수 $K_{𝔭}$-자유 가군이라면, $\mathrm{Cliff}(M,Q;K)$는 홀수형 등급 아즈마야 대수이다. (여기서 $K_{𝔭}$는 국소화이다.)

특히, 만약 $K$가 표수가 2가 아닌 체라면, $\mathrm{Cliff}(V,Q;K)$는 등급 중심 단순 대수(틀:Llang)이다.틀:Rp

• 만약 $V$가 짝수 차원이라면 $\mathrm{Cliff}(V,Q;K)$는 짝수형 등급 중심 단순 대수이다. 즉, $\mathrm{Z}(\mathrm{Cliff}(V,Q;K))=K$이며, $\mathbb{Z}/2$-등급 구조를 잊으면 중심 단순 대수를 이룬다.
• 만약 $V$가 짝수 차원이라면 $\mathrm{Cliff}(V,Q;K)$는 홀수형 등급 중심 단순 대수이다. 즉, $\mathbb{Z}/2$-등급 구조를 잊으면 $\mathrm{Cliff}(V,Q;K)$는 중심 단순 대수가 아니지만, ${\mathrm{Cliff}}^{+}(V,Q;K)$는 중심 단순 대수를 이룬다.

반단순성

표수가 2가 아닌 체 $K$ 위의 유한 차원 벡터 공간 $V={\mathrm{Span}}_K\{e_1,e_2,\dots ,e_n\}$ 위의 모든 이차 형식은 대각화할 수 있다. 즉, 다음과 같은 꼴로 놓을 수 있다.

$Q(a_1{e}_1+a_2{e}_2+\cdots +a_n{e}_n)=c_1{a}_1^2+c_2{a}_2^2+\cdots +c_n{a}_n^2(a_1,\dots ,a_n,c_1,\dots ,c_n\in K)$

이렇게 놓았을 때, 클리퍼드 대수 $\mathrm{Cliff}(V,Q;K)$는 (유한 차원 $K$-벡터 공간이므로) 항상 아르틴 환이다. 또한, 다음 두 조건이 서로 동치이다.틀:Rp

• $\mathrm{Cliff}(V,Q;K)$는 반단순환이다. 즉, 아르틴-웨더번 정리에 따라 유한 개의 나눗셈환 위의 행렬환들의 직접곱이다.
• 모든 $i=1,2,\dots ,n$에 대하여 $c_i\ne 0$이다.

또한, $\mathrm{Cliff}(V,Q;K)$는 2개 이하의 단순환의 직접곱이다.틀:Rp

중심

표수가 2가 아닌 체 $K$ 위의 유한 차원 벡터 공간 $V={\mathrm{Span}}_K\{e_1,e_2,\dots ,e_n\}$ 위의 모든 이차 형식은 대각화할 수 있다. 즉, 다음과 같은 꼴로 놓을 수 있다.

$Q(a_1{e}_1+a_2{e}_2+\cdots +a_n{e}_n)=c_1{a}_1^2+c_2{a}_2^2+\cdots +c_n{a}_n^2(a_1,\dots ,a_n,c_1,\dots ,c_n\in K)$

이렇게 놓았을 때, 클리퍼드 대수 $\mathrm{Cliff}(V,Q;K)$의 중심은 다음과 같다.

$\mathrm{Z}(\mathrm{Cliff}(V,Q;K))=\{\begin{array}{cc}K& 2\mid n\\ K+K{e}_1{e}_2\cdots e_n& 2\nmid n\end{array}$

스칼라 확대

가환환 $K$, $\tilde{K}$과 환 준동형 $\varphi :K\to \tilde{K}$ 및 $K$-가군 $M$ 및 그 위의 이차 형식 $Q$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, $(M,Q)$의 스칼라 확대 $(M{\otimes }_K\tilde{K},Q{\otimes }_{K}1)$의 클리퍼드 대수는 다음과 같은 $\mathbb{Z}/2$-등급 $\tilde{K}$-대수이다.틀:Rp

$\mathrm{Cliff}(M{\otimes }_K\tilde{K},Q{\otimes }_{K}1)\cong \mathrm{Cliff}(M,Q){\otimes }_K\tilde{K}$

클리퍼드 군

틀:본문 클리퍼드 대수의 특정 가역원들은 클리퍼드 군이라는 군을 이룬다. 핀 군과 스핀 군은 클리퍼드 군의 부분군을 이룬다.

분류

직합에 대한 분해

가환환 $K$ 및 임의의 두 $\mathbb{Z}/2$-등급 $K$-단위 결합 대수 $A$, $A^{\prime }$가 주어졌다고 하자. 그렇다면,

$B=A{{\otimes }_A}^{\prime }$

위에 다음과 같은 $\mathbb{Z}/2$등급 $K$-단위 결합 대수의 구조를 부여할 수 있다.

$B_0=A_0{\otimes }_{K}A{\text{'}}_0\oplus A_1{\otimes }_{K}A{\text{'}}_1$

$B_1=A_0{\otimes }_{K}A{\text{'}}_1\oplus A_1{\otimes }_{K}A{\text{'}}_0$

$(a{\otimes }_K{a}^{\prime })(b{\otimes }_K{b}^{\prime })=(-{)}^{\mathrm{deg}{a}^{\prime }\mathrm{deg}{b}^{\prime }}(ab){\otimes }_K(a^{\prime }{b}^{\prime })(a,b\in A,a^{\prime },b^{\prime }\in A^{\prime })$

여기서 $A_0$ 및 $A_1$은 등급이 0 및 1인 성분들의 부분 집합이다. 이 $\mathbb{Z}/2$등급 $K$-단위 결합 대수를 $A{\hat{\otimes }}_K{A}^{\prime }$으로 표기하자.

가환환 $K$ 위의 두 이차 공간 $(V,Q)$, $(V^{\prime },Q^{\prime })$이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 직합 $(V\oplus V^{\prime },Q\oplus Q^{\prime })$ 위의 클리퍼드 대수는 $\mathbb{Z}/2$-등급 $K$-단위 결합 대수로서 다음과 동형이다.틀:Rp

$\mathrm{Cliff}(V\oplus V^{\prime },Q\oplus Q^{\prime };K)\cong \mathrm{Cliff}(V,Q;K){\hat{\otimes }}_K\mathrm{Cliff}(V^{\prime },Q^{\prime };K)$

따라서, 클리퍼드 대수의 분류는 직합으로 분해할 수 없는 이차 공간 위의 클리퍼드 대수의 분류로 귀결된다.

체 위의 클리퍼드 대수의 분류

표수가 2가 아닌 체 $K$ 위의 $n$차원 벡터 공간 $V$ 위의 비퇴화 이차 형식 $Q$로 정의되는 클리퍼드 대수 $\mathrm{Cliff}(V,Q;K)$는 등급 중심 단순 대수(틀:Llang)이며, 이에 대하여 완전한 분류가 존재한다. 이는 다음과 같다.틀:Rp

• $n$이 짝수일 때: $\mathrm{Cliff}(V,Q;K)$는 $K$ 위의 중심 단순 대수이다.
  • $\mathrm{Z}({\mathrm{Cliff}}^{+}(V,Q;K))\cong K(\sqrt{a})$ ($a\in K^{\times }/(K^{\times }{)}^2)$)의 꼴이라면, ${\mathrm{Cliff}}^{+}(V,Q;K)$는 $K(\sqrt{a})$ 위의 중심 단순 대수이다.
  • $\mathrm{Z}({\mathrm{Cliff}}^{+}(V,Q;K))\cong K\times K$의 꼴이라면, ${\mathrm{Cliff}}^{+}(V,Q;K)\cong A^2$는 $K$ 위의 어떤 중심 단순 대수 $A$의 제곱과 동형이다.
• $n$이 홀수일 때: ${\mathrm{Cliff}}^{+}(V,Q;K)$는 $K$ 위의 중심 단순 대수이다.
  • $\mathrm{Z}(\mathrm{Cliff}(V,Q;K))\cong K(\sqrt{a})$ ($a\in K^{\times }/(K^{\times }{)}^2)$)의 꼴이라면, $\mathrm{Cliff}(V,Q;K)$는 확대체 $K(\sqrt{a})$ 위의 중심 단순 대수이다.
  • $\mathrm{Z}(\mathrm{Cliff}(V,Q;K))\cong K\times K$의 꼴이라면, $\mathrm{Cliff}(V,Q;K)\cong A^2$은 $K$ 위의 어떤 중심 단순 대수 $A$의 제곱과 동형이다.

아르틴-웨더번 정리에 의하여, 체 $K$ 위의 $2^n$차원 중심 단순 대수는 어떤 $K$-중심 단순 대수인 $2^k$차원 나눗셈환 $D$ 위의 행렬환 $\mathrm{Mat}(2^{n-k};D)$과 동형이다.

복소수 클리퍼드 대수

$K=ℂ$가 복소수체이며, $(V,Q)$가 비퇴화 이차 형식이 주어진 유한 차원 복소수 벡터 공간이라고 하자. 복소수의 경우, 부호수의 개념이 존재하지 않고, 오직 $n={\dim }_{ℂ}V$만 고려하면 된다. 이에 대한 클리퍼드 대수를 $\mathrm{Cliff}(n;ℂ)$로 쓰면, 이는 $ℂ$-단위 결합 대수로서 다음과 같다.

$\mathrm{Cliff}(n;ℂ)\cong \{\begin{array}{cc}\mathrm{Mat}(2^{n/2};ℂ)& 2\mid n\\ \mathrm{Mat}(2^{(n-1)/2};ℂ)\oplus \mathrm{Mat}(2^{(n-1)/2};ℂ)& 2\nmid n\end{array}$

즉, 다음과 같은 주기 2의 보트 주기성이 존재한다.

$\mathrm{Cliff}(n+2;ℂ)\cong \mathrm{Mat}(2;ℂ){\otimes }_{ℂ}\mathrm{Cliff}(n;ℂ)$

특히, 낮은 차원의 경우 이는 다음과 같다.

$\mathrm{Cliff}(0;ℂ)\cong ℂ$

$\mathrm{Cliff}(1;ℂ)\cong ℂ\oplus ℂ$ (테사린, tessarine)

$\mathrm{Cliff}(2;ℂ)\cong \mathrm{Mat}(2;ℂ)$ (2×2 복소 행렬)

실수 클리퍼드 대수

$K=ℝ$가 실수체이며, $V$가 유한 차원 실수 벡터 공간이고, $Q$가 부호수가 $(p,q)$인 비퇴화 이차 형식이라고 하자. 이 경우, 이에 대한 클리퍼드 대수를 $\mathrm{Cliff}(p,q;ℝ)$로 쓰자. 낮은 차원의 실수 클리퍼드 대수들은 다음과 같다.

$\mathrm{Cliff}(0,0;ℝ)\cong ℝ$ (실수)

$\mathrm{Cliff}(0,1;ℝ)\cong ℂ$ (복소수)

$\mathrm{Cliff}(1,0;ℝ)\cong ℝ\oplus ℝ$ (분할복소수)

$\mathrm{Cliff}(0,2;ℝ)\cong ℍ$ (사원수)

$\mathrm{Cliff}(2,0;ℝ)\cong \mathrm{Cliff}(1,1;ℝ)\cong \mathrm{Mat}(2;ℝ)$ (2×2 실수 행렬)

또한, 다음과 같은 주기 8의 보트 주기성이 성립한다.

$\mathrm{Cliff}(p+2,q;ℝ)\cong \mathrm{Mat}(2;ℝ){\otimes }_{ℝ}\mathrm{Cliff}(q,p;ℝ)$

$\mathrm{Cliff}(p+1,q+1;ℝ)\cong \mathrm{Mat}(2;ℝ){\otimes }_{ℝ}\mathrm{Cliff}(p,q;ℝ)$

$\mathrm{Cliff}(p,q+2;ℝ)\cong ℍ{\otimes }_{ℝ}\mathrm{Cliff}(q,p;ℝ)$

이에 따라, 모든 유한 차원 및 부호수에서의 실수 클리퍼드 대수를 분류할 수 있다.

즉, 실수 클리퍼드 대수 $\mathrm{Cliff}(p,q;ℝ)$들은 다음과 같은 클리퍼드 시계(Clifford時計, 틀:Llang)로 나타낼 수 있다.

$\begin{array}{ccccc}{}_{\mathrm{𝟪}}& & {}^{\mathrm{𝟣}}& & {}_{\mathrm{𝟤}}\\ & {}_{ℝ}& {}^{{ℝ}^{\oplus 2}}& {}_{ℝ}\\ \mathrm{𝟩}& ℂ& & ℂ& \mathrm{𝟥}\\ & {}^{ℍ}& {}_{{ℍ}^{\oplus 2}}& {}^{ℍ}\\ {}^{\mathrm{𝟨}}& & {}_{\mathrm{𝟧}}& & {}^{\mathrm{𝟦}}\end{array}$

즉, $\mathrm{Cliff}(p,q;ℝ)$는 $p-qmod8$이 가리키는 방향에 적힌 대수 위의 행렬 대수이며, 행렬 대수의 크기는 ${\dim }_{ℝ}\mathrm{Cliff}(p,q;ℝ)=2^{p+q}$으로부터 계산할 수 있다. 예를 들어, $n\equiv 3(\mathrm{mod}8)$일 때

$\mathrm{Cliff}(0,n;ℝ)\cong \mathrm{Mat}(ℍ;2^n/(2{\dim }_{ℝ}ℍ))\oplus \mathrm{Mat}(ℍ;2^n/(2{\dim }_{ℝ}ℍ))=\mathrm{Mat}(ℍ;2^{n-3})\oplus \mathrm{Mat}(ℍ;2^{n-3})$

이다.

홀수 표수의 유한체

홀수 표수의 유한체 $K={𝔽}_q$ 위의 $n$차원 벡터 공간 위의 대각화된 비퇴화 이차 형식

$Q=\mathrm{diag}(a_1,a_2,\dots ,a_n)$

이 주어졌다고 하자. 이 경우

$\delta =[(-1{)}^{n(n-1)/2}{a}_1{a}_2\cdots a_n]\in {𝔽}_q^{\times }/({𝔽}_q^{\times }{)}^2\cong \mathbb{Z}/2$

을 정의하자. 이 경우, 클리퍼드 대수는 다음과 같다.

$\delta$	$n$	$\mathrm{Cliff}({𝔽}_q^n,Q;{𝔽}_q)$	${\mathrm{Cliff}}^{+}({𝔽}_q^n,Q;{𝔽}_q)$	$\mathrm{O}(V,Q;{𝔽}_q)$
제곱수 ($Q$가 플러스형)	짝수	$\mathrm{Mat}(2^{n/2};{𝔽}_q)$	$\mathrm{Mat}(2^{n/2-1};{𝔽}_q{)}^2$	${\mathrm{O}}^{+}(n;{𝔽}_q)$
제곱수	홀수	$\mathrm{Mat}(2^{(n-1)/2};{𝔽}_q{)}^2$	$\mathrm{Mat}(2^{(n-1)/2};{𝔽}_q)$	$\mathrm{O}(n;{𝔽}_q)$
제곱수가 아님 ($Q$가 마이너스형)	짝수	$\mathrm{Mat}(2^{n/2};{𝔽}_q)$	$\mathrm{Mat}(2^{n/2-1};{𝔽}_{q^2})$	${\mathrm{O}}^{-}(n;{𝔽}_q)$
제곱수가 아님	홀수	$\mathrm{Mat}(2^{(n-1)/2};{𝔽}_{q^2})$	$\mathrm{Mat}(2^{(n-1)/2};{𝔽}_q)$	$\mathrm{O}(n;{𝔽}_q)$

홀수 표수 유한체 위의 양의 유한 차원 벡터 공간 위에는 정확히 두 개의 이차 형식(의 동형류)가 존재하므로, 이 경우 이차 형식은 그 클리퍼드 대수만으로 구별할 수 있다.

표수 2의 유한체

표수 2에서는 등급 텐서곱 $\hat{\otimes }$이 일반 텐서곱 $\otimes$과 같다. 표수 2의 유한체 $K={𝔽}_{2^e}$ 위의 $2n$차원 벡터 공간 위의 모든 비퇴화 이차 형식은 다음과 같은 두 2차원 이차 형식들의 직합으로 나타낼 수 있다.

$Q_1=(K^2,(k_1,k_2)\mapsto k_1{k}_2)$

$Q_2(K^2,(k_1,k_2)\mapsto (k_1^2+k_1{k}_2+a{k}_2^2)),a\in K\setminus \{b^2+b:b\in K\}$

이 경우 $\mathrm{Cliff}({𝔽}_{2^e}^2,Q_1)$ 및 $\mathrm{Cliff}({𝔽}_{2^n}^2,Q_2)$ 둘 다 $K$ 위의 중심 단순 대수를 이룬다. 따라서, $2n$차원 벡터 공간 위의 임의의 비퇴화 이차 형식 $Q$의 클리퍼드 대수는 행렬환과 동형이다.

$\mathrm{Cliff}({𝔽}_{2^e}^{2n},Q;{𝔽}_{2^e})\cong \mathrm{Mat}(2^n;{𝔽}_{2^e})$

${𝔽}_{2^e}$ 위의 유한 차원 벡터 공간 위의 임의의 이차 형식 $Q$는 다음과 같이 비퇴화 이차 형식 $Q_{\text{nondeg}}$과 다음 두 퇴화 이차 형식 가운데 하나와의 직합으로 표현할 수 있다.

$Q=Q_{\text{nondeg}}\oplus \{\begin{array}{c}\mathrm{diag}(0,0,\dots ,0,1)\\ \mathrm{diag}(0,0,\dots ,0,0)\end{array}$

$\mathrm{Cliff}(\mathrm{diag}(0,0,\dots ,0,0);{𝔽}_{2^e})$ 및 $\mathrm{Cliff}(\mathrm{diag}(0,0,\dots ,0,1);{𝔽}_{2^e}$ 둘 다 외대수와 동형이다. 후자의 경우, 구체적으로 클리퍼드 대수

$\mathrm{Cliff}(\mathrm{diag}(1);K)=K[x]/(x^2+1)$

에서 $y=x+1$로 놓으면 $y^2=0$이므로 이는 단위 결합 대수로서 외대수 $\mathrm{\Lambda }(K)=K[y]/(y^2)$와 동형이다.

예

가환환 $K$ 위의 클리퍼드 대수 $\mathrm{Cliff}(V,Q;K)$는 특수한 경우 다음과 같다.

• 만약 $Q=0$이라면 $\mathrm{Cliff}(V,0;K)=\mathrm{\Lambda }(V;K)$는 외대수이다.
• 만약 $V=0$이 자명 가군이며, $Q=0$이 그 위의 유일한 이차 형식이라면, $\mathrm{Cliff}(0,0;K)\cong K$이다.

1차원 자유 가군 위의 클리퍼드 대수

만약 $V=K$가 1차원 자유 가군이며, $Q:k\mapsto a{k}^2$라면, $\mathrm{Cliff}(K,Q;K)\cong K[x]/(x^2-a)$이다. 따라서, 이 경우는 $a=Q(1)$의 동치류 $[a]\in K/K^2$에 의하여 분류된다.

만약 추가로 $K$가 표수가 2가 아닌 대수적으로 닫힌 체라면,

$K[x]/(x^2-a)\cong \{\begin{array}{cc}K\oplus K& a\ne 0\\ \mathrm{\Lambda }(K)& a=0\end{array}$

이다. 구체적으로, $a\ne 0$일 경우

$y_{\pm }=\frac{1}{2}(1\pm x/\sqrt{a})$

를 정의한다면,

$y_{\pm }^2=y_{\pm }$

이므로 $K[x]/(x^2-a)\cong K{y}_{+}\oplus K{y}_{-}$가 된다.

2차원 자유 가군 위의 클리퍼드 대수

체 $K$ 위의 2차원 벡터 공간 위의 비퇴화 이차 형식에 의하여 정의되는 클리퍼드 대수는 사원수형 대수(틀:Llang, 틀:Llang)라고 한다.

체 위의 사원수형 대수는 환으로서 항상 나눗셈환을 이루거나 또는 2×2 $K$ 위의 행렬환 $\mathrm{Mat}(2;K)$과 동형이다. 후자의 경우, 분할 사원수형 대수(틀:Llang, 틀:Llang)라고 한다.

$K$가 표수가 2가 아닌 체일 경우, 그 위의 사원수형 대수는 다음과 같이 표기한다.

$\left(\frac{a,b}{K}\right)=\mathrm{Cliff}({\mathrm{Span}}_K\{i,j\},\mathrm{diag}(a,b);K)=\frac{K⟨i,j⟩}{(i^2-a,j^2-b,ij+ji)}(\mathrm{deg}i=\mathrm{deg}j=1)$

보통 (사원수와 마찬가지로) $ij=-ji=k$로 표기한다.

$K$가 표수가 2가 아닌 체일 경우, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $(\frac{a,b}{K})$가 분할 사원수형 대수이다.
• 힐베르트 기호 $(a,b{)}_K=1$이다. 즉, $z^2=a{x}^2+b{y}^2$의 해가 $K$에서 존재한다.

사원수의 환 $ℍ$는 실수체 위의 사원수형 대수 $(\frac{-1,-1}{K})$이다.

클리퍼드 해석학

복소해석학의 여러 성질들을 클리퍼드 대수 값을 갖는 함수에 대하여 일반화할 수 있다.

디랙 연산자

틀:본문 유클리드 공간 ${ℝ}^n$ 속의 열린집합 $U\subseteq {ℝ}^n$ 위의 ${𝒞}^1$ 함수

$f:U\to \mathrm{Cliff}(0,n;ℝ)$

가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 이러한 함수에 대하여 디랙 연산자

$D=\sum _{i=1}^n{e}_i\frac{\partial }{\partial x_i}$

를 생각할 수 있다 ($e_i$는 ${ℝ}^n$의 정규 직교 기저). 만약 $f$가

$0=\overrightarrow{D}f=\sum _{i=1}^n\frac{\partial }{\partial x_i}(e_{i}f(x))$

를 만족시킨다면, $f$를 왼쪽 정칙 함수(틀:Llang)라고 하며, 만약 $f$가

$0=f\overleftarrow{D}=\sum _{i=1}^n\frac{\partial }{\partial x_i}(f(x)e_i)$

를 만족시킨다면, $f$를 오른쪽 정칙 함수(틀:Llang)라고 한다.

디랙 연산자의 제곱은

$D^2=\sum _{i,j=1}^n{e}_i{e}_j\frac{{\partial }^2}{\partial x_i\partial x_j}=-\sum _{i=1}^n\frac{{\partial }^2}{\partial x_i^2}=-{\mathrm{\nabla }}^2$

이므로, $iD$는 라플라스 연산자 ${\mathrm{\nabla }}^2$의 일종의 제곱근이다.

코시 적분 공식

클리퍼드 대수 값의 함수에 대하여 일종의 코시의 적분 정리가 성립한다. 즉,

• 두 열린집합 $V\subseteq \mathrm{cl}(V)\subseteq U\subseteq {ℝ}^n$가 주어졌으며 ($\mathrm{cl}(V)$는 위상수학적 폐포)
• $V$는 유계 집합이자 단일 연결 공간이며,
• 경계 $\partial V$가 조각별 ${𝒞}^1$ 미분 가능 다양체를 이루며,
• $f,g:U\to \mathrm{Cliff}(0,n;ℝ)$는 ${𝒞}^1$ 함수이며,
• $f$는 왼쪽 정칙 함수이며 $g$는 오른쪽 정칙 함수라고 하자.

그렇다면, 다음이 성립한다.

$0={\oint }_{\partial V}g(x){\hat{n}}_{\partial V}(x)f(x)\mathrm{d}{x}^{n-1}$

여기서

• ${\hat{n}}_{\partial V}:\partial V\to {ℝ}^n\subset \mathrm{Cliff}(0,n;ℝ)$는 $\partial V$ 위의 바깥 방향 수직 단위 벡터이며,
• $\mathrm{d}{x}^{n-1}$는 $\partial V$ 위의 르베그 측도이다.

또한, 다음이 성립한다.

$f(x_0)=\frac{1}{\mathrm{vol}({𝕊}^{n-1})}{\oint }_{\partial V}\frac{(x-x_0){\hat{n}}_{\partial V}(x)f(x)}{\Vert x-x_0{\Vert }^n}\mathrm{d}{x}^{n-1}$

$g(x_0)=\frac{1}{\mathrm{vol}({𝕊}^{n-1})}{\oint }_{\partial V}\frac{g(x){\hat{n}}_{\partial V}(x)(x-x_0)}{\Vert x-x_0{\Vert }^n}\mathrm{d}{x}^{n-1}$

여기서

$\mathrm{vol}({𝕊}^{n-1})=\frac{2{\pi }^{n/2}}{\mathrm{\Gamma }(n/2)}$

는 $n-1$차원 단위 초구의 넓이이다.

등각 변환

리만 구 $\widehat{ℂ}$ 위의 등각 변환은 복소수 계수의 뫼비우스 변환

$z\mapsto \frac{az+b}{cz+d}(a,b,c,d\in ℂ,ad-bc\ne 0)$

로 나타낼 수 있다. 마찬가지로, ${𝕊}^n=\widehat{{ℝ}^n}$ 위의 등각 변환은 클리퍼드 대수 $\mathrm{Cliff}(0,n;ℝ)$ 계수의 뫼비우스 변환

$x\mapsto \frac{ax+b}{cx+d}(a,b,c,d\in \mathrm{Cliff}(0,n;ℝ))$

으로 나타내어진다. 이 경우, 2×2 행렬

$\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$

를 등각 변환의 알포르스-팔렌 행렬(틀:Llang)이라고 한다. 2×2 행렬

$M=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\in \mathrm{Mat}(2;\mathrm{Cliff}(0,n;ℝ))$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.틀:Rp

• $M$은 알포르스-팔렌 행렬이다. 즉, $\widehat{{ℝ}^n}$ 위의 등각 변환을 정의한다.
• $a{c}^{\mathrm{\top }},b{d}^{\mathrm{\top }}\in {ℝ}^n$이며, $a{d}^{\mathrm{\top }}-b{c}^{\mathrm{\top }}\in ℝ\setminus \{0\}$이다.

특히, 이 경우 뫼비우스 변환의 역원은 다음과 같다.틀:Rp

${\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}{d}^{\mathrm{\top }}& -b^{\mathrm{\top }}\\ -c^{\mathrm{\top }}& a^{\mathrm{\top }}\end{array}\right)$

응용

K이론

위상 K이론은 클리퍼드 대수와 깊은 관련이 있다. 구체적으로, KO-이론의 주기 8의 보트 주기성은 실수 클리퍼드 대수의 주기 8의 보트 주기성과 관련되고, 마찬가지로 KU-이론의 주기 2의 보트 주기성은 복소수 클리퍼드 대수의 주기 2의 보트 주기성과 관련된다.

물리학

양자장론에서, 4차원 디랙 스피너를 다룰 때 등장하는 디랙 행렬 ${\gamma }^{\mu }$ ($\mu =0,1,2,3$)들의 곱은 복소수 클리퍼드 대수 $\mathrm{Cliff}(4;ℂ)\cong \mathrm{Mat}(4;ℂ)$를 생성한다. 마찬가지로, 3차원 스피너를 다룰 때 등장하는 파울리 행렬 ${\sigma }^1,{\sigma }^2,{\sigma }^3$들은 $\{{\sigma }^i,{\sigma }^j\}=2{\delta }^{ij}{\sigma }^i$를 만족시키며, 클리퍼드 대수 $\mathrm{Cliff}(3,0;ℝ)\cong \mathrm{Mat}(2;ℂ)$를 이룬다. 스피너의 벡터 공간은 이와 같은 클리퍼드 대수 위의 가군을 이룬다.

역사

영국의 기하학자 윌리엄 킹던 클리퍼드가 도입하였다. 클리퍼드는 1876년 3월 10일에 런던 수학회(틀:Llang)에서 〈기하학적 대수의 분류에 대하여〉(틀:Llang)라는 제목의 강의를 하였으며, 그 미출판 원고는 클리퍼드 사후에 발견되었다. 1878년에 클리퍼드는 미국의 수학 저널에 관련 논문을 출판하였다.

루돌프 립시츠는 클리퍼드와 독자적으로 1880년에 클리퍼드 대수를 발견하였고, 또 클리퍼드 군을 최초로 사용하였다.틀:Rp

알포르스-팔렌 행렬은 오스트리아의 카를 테오도어 팔렌(틀:Llang)이 1902년에 도입하였고, 이후 핀란드의 라르스 알포르스가 재발견하였다.

1964년에 마이클 아티야 · 라울 보트 · 아놀드 새뮤얼 샤피로(틀:Llang)는 클리퍼드 대수가 위상 K이론과 깊은 관련이 있음을 발견하였다.

각주

• 틀:서적 인용
• 틀:서적 인용
• 틀:서적 인용
• 틀:서적 인용
• 틀:저널 인용
• 틀:서적 인용
  • 틀:서적 인용
  • 틀:서적 인용
• 틀:저널 인용
• 틀:저널 인용
• 틀:서적 인용
• 틀:저널 인용
• 틀:서적 인용

같이 보기

• 기하적 대수학
• 디랙 연산자
• 디랙 행렬
• 사원수
• 스피너
• 스핀 군
• 스핀 다양체
• 외대수
• 케일리-딕슨 구성
• 팔원수

외부 링크

• 틀:Eom
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• 틀:매스월드
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• 틀:수학노트