곱셈적 함수

틀:위키데이터 속성 추적 수론에서 곱셈적 함수(-的函數, 틀:Llang) 또는 곱산술 함수(-算術函數)는 서로소인 두 정수의 곱셈을 보존하는 수론적 함수이다.

정의

함수 $f:{\mathbb{Z}}^{+}\to ℂ$가 다음 조건을 만족시키면, 곱셈적 함수라고 한다.

• 임의의 $m,n\in {\mathbb{Z}}^{+}$에 대하여, 만약 $\gcd \{m,n\}=1$이라면, $f(mn)=f(m)f(n)$이다.

함수 $f:{\mathbb{Z}}^{+}\to ℂ$가 다음 조건을 만족시키면, 완전 곱셈적 함수(完全-的函數, 틀:Llang)라고 한다.

• 임의의 $m,n\in {\mathbb{Z}}^{+}$에 대하여, $f(mn)=f(m)f(n)$이다.

(완전) 곱셈적 함수의 정의역은 $\mathbb{Z}$의 곱셈에 대하여 닫혀있는 부분 집합일 수도 있다.틀:Rp

성질

연산에 대한 닫힘

곱셈적 함수 $f:{\mathbb{Z}}^{+}\to ℂ$에 대하여, 다음과 같은 함수들 역시 곱셈적 함수이다.틀:Rp

• $n\mapsto f(n^k)(k\in {\mathbb{Z}}^{+})$
• $n\mapsto f(\gcd \{n,k\})(k\in \mathbb{Z})$

항등식

곱셈적 함수 $f:{\mathbb{Z}}^{+}\to ℂ$에 대하여, 만약 $n\in {\mathbb{Z}}^{+}$의 소인수 분해가

$n=p_1^{a_1}{p}_2^{a_2}\cdots p_k^{a_k}$

일 경우, 다음이 성립한다.

$f(n)=f(p_1^{a_1})f(p_2^{a_2})\cdots f(p_k^{a_k})$

만약 추가로 $f$가 완전 곱셈적 함수일 경우, 다음이 성립한다.

$f(n)=f(p_1{)}^{a_1}f(p_2{)}^{a_2}\cdots f(p_k{)}^{a_k}$

즉, 곱셈적 함수는 소수의 거듭제곱의 상에 의하여 결정되며, 완전 곱셈적 함수는 소수의 상에 의하여 결정된다.틀:Rp

곱셈적 함수 $f,g:{\mathbb{Z}}^{+}\to ℂ$에 대하여, 다음과 같은 항등식이 성립한다.틀:Rp

$f(1)=1\vee f(x)=k{\delta }_{1,x}$

$f(m)f(n)=f(\gcd \{m,n\})f(\mathrm{lcm}\{m,n\})$

$\sum _{d\mid n}\mu (d)f(d)=\prod _{p\mid n}(1-f(p))$

$\sum _{d\mid n}\mu (d{)}^{2}f(d)=\prod _{p\mid n}(1+f(p))$

여기서 $\mu$는 뫼비우스 함수이다.

곱셈적 함수 $f:A\to ℂ$의 정의역 $A\subseteq \mathbb{Z}$이 $-1\in A$를 만족한다면,

$f(-1)=\pm 1$

이다.틀:Rp

디리클레 합성곱

곱셈적 함수는 디리클레 합성곱에 대하여 아벨 군을 이룬다. 즉, 곱셈적 함수 $f,g:{\mathbb{Z}}^{+}\to ℂ$의 디리클레 합성곱

$f*g:n\mapsto \sum _{d\mid n}f(d)g(n/d)$

와 디리클레 역원

$f^{-1}(f^{-1}*f=f*f^{-1}={\delta }_{\bullet ,1})$

은 곱셈적 함수이다.틀:Rp

곱셈적 함수 $f:{\mathbb{Z}}^{+}\to ℂ$에 대하여, 만약 $n\in {\mathbb{Z}}^{+}$의 소인수 분해가

$n=p_1^{a_1}{p}_2^{a_2}\cdots p_k^{a_k}$

일 경우, 다음이 성립한다.틀:Rp

$\sum _{d\mid n}f(d)=\prod _{j=1}^k(1+f(p_j)+\cdots +f(p_j^{a_j}))$

$\sum _{d\mid n}\mu (n/d)f(d)=\prod _{j=1}^k(f(p_j^{a_j})-f(p_j^{a_j-1}))$

만약 추가로 $f$가 완전 곱셈적 함수일 경우, 다음이 성립한다.

$\sum _{d\mid n}f(d)=\prod _{j=1}^k(1+f(p_j)+\cdots +f(p_j{)}^{a_j})$

$\sum _{d\mid n}\mu (n/d)f(d)=\prod _{j=1}^k(f(p_j{)}^{a_j}-f(p_j{)}^{a_j-1})$

예

다음과 같은 수론적 함수들은 완전 곱셈적 함수이다.

• $n\mapsto n^k$ ($k$는 음이 아닌 정수): 거듭제곱 함수
  • $n\mapsto 1$: 1을 값으로 하는 상수 함수. 거듭제곱의 지수가 $k=0$인 경우이다.
  • $n\mapsto n$: 항등 함수. 거듭제곱의 지수가 $k=1$인 경우이다.
• $n\mapsto {\delta }_{n,1}$: $n$이 1인지 여부에 따라 1 또는 0을 취한다.
• $n\mapsto (n/p)$ ($p$는 소수): 르장드르 기호. $n$이 $p$에 대한 제곱 잉여일 경우 1을, 제곱 비잉여일 경우 −1을, $p$의 배수일 경우 0을 취한다.

다음과 같은 수론적 함수들은 곱셈적 함수이나, 완전 곱셈적 함수가 아니다.

• $n\mapsto \varphi (n)$: 오일러 피 함수. $n$보다 작고 $n$과 서로소인 양의 정수의 개수
• $n\mapsto \mu (n)$: 뫼비우스 함수. $n$이 제곱 인수가 없는 정수일 경우, $n$의 소인수의 개수의 홀짝성에 따라 ∓1을 취한다. $n$이 제곱 인수가 없는 정수가 아닐 경우, 0을 취한다.
• $n\mapsto {\sigma }_k(n)$ ($k$는 음이 아닌 정수): 약수 함수. $n$의 모든 양의 약수의 $k$제곱의 합
  • $n\mapsto d(n)$: $n$의 모든 양의 약수의 개수. 약수 함수에서 $k=0$인 경우이다.
  • $n\mapsto \sigma (n)$: $n$의 모든 양의 약수의 합. 약수 함수에서 $k=1$인 경우이다.

양의 정수를 두 정수의 제곱의 합으로 나타내는 방법의 (더하는 순서를 고려한) 가짓수를 구하는 함수

$n\mapsto r_2(n)$

는 곱셈적 함수가 아니다. 예를 들어, 1을 제곱수로 나타내는 방법은 다음과 같이 4가지가 있다.

$1=1^2+0^2=0^2+1^2=(-1{)}^2+0^2=0^2+(-1{)}^2$

즉,

$r_2(1)=4\ne 1$

이다.

폰 망골트 함수

$n\mapsto \mathrm{\Lambda }(n)$

는 $n$이 어떤 소수 $p$의 양의 정수 제곱일 경우 $\ln p$를, 소수의 거듭제곱이 아닐 경우 0을 값으로 취한다.

$\mathrm{\Lambda }(1)=0\ne 1$

이므로, 이는 곱셈적 함수가 아니다.

같이 보기

• 오일러의 곱셈 공식

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:매스월드