스콧 계략

틀:위키데이터 속성 추적 집합론에서 스콧 계략(-計略, 틀:Llang)은 집합에 대하여 정의된 개념을 모임 위로 확장하는 방법이다. 필요한 경우에, 모임이 집합이 되도록 크기를 줄이는 것을 골자로 한다. 정칙성 공리를 사용하며, 선택 공리는 필요로 하지 않는다.

정의

체르멜로-프렝켈 집합론을 가정하자. 모임 $X$에 대하여,

$\hat{X}=\{A\in X|\mathrm{\forall }B\in X:\mathrm{rank}A\le \mathrm{rank}B\}\subseteq X$

가 $X$의 원소 가운데 폰 노이만 전체에서의 계수가 최소인 것들의 모임이라고 하자.틀:Rp 이러한 최소의 계수가 $\alpha$라고 할 때, $\hat{X}$는 집합 $V_{\alpha +1}$의 부분 모임이다. 즉, $\hat{X}$는 집합이다. $\hat{X}=\varnothing$일 필요충분조건은 $X=\varnothing$이다. 이를 스콧 계략이라고 한다.

예

동치류

틀:본문 모임 위에 동치 관계가 주어졌을 때, 동치류는 고유 모임일 수 있으므로, 동치류들의 모임을 정의할 수 없다. 그러나 동치류들에 스콧 계략을 가하여 만든 집합들은 동치류들과 일대일 대응하므로, 이 집합들로 구성된 모임을 동치류들의 모임으로 여길 수 있다.

특히, 선택 공리 없이도 기수나 동형류를 집합으로서 정의할 수 있다.

정초 관계

틀:본문 모임 위에 이항 관계가 주어졌을 때, 공집합이 아닌 모든 부분 집합이 극소 원소를 갖는다는 사실은 공집합이 아닌 모든 부분 모임이 극소 원소를 갖는다는 사실을 함의한다. 이에 대한 증명은 스콧 계략을 사용한다. 구체적으로, 이 증명은 모임 $X$ 위의 이항 관계 $R\subseteq X\times X$의 왼쪽 성분들의 모임

$\{A\in X|\mathrm{\exists }B\in Y:(A,B)\in R\}(Y\subseteq X)$

에 대하여 스콧 계략을 가한다.

역사

데이나 스콧이 1955년 7월 18일 브리티시컬럼비아 대학교 밴쿠버 캠퍼스에서 열린 제515회 미국 수학회 회의에서 소개하였다.틀:Rp

외부 링크

• 틀:Nlab