6차원 초구

틀:위키데이터 속성 추적 기하학에서 6차원 초구(六次元超球, 틀:Llang)는 7차원 유클리드 공간 속의, 원점에서 같은 거리에 있는 점으로 구성된 다양체이다. 6차원 초구는 동차 공간 G₂/SU(3)로 구성될 수 있으며, 이에 따라 개복소다양체를 이룬다.

정의

6차원 초구는 7차원 유클리드 공간 속의, 단위 노름의 벡터로 구성된 매끄러운 다양체이다. 이 위에는 표준적인 리만 계량이 존재한다.

6차원 초구는 다음과 같이 대칭 공간을 이룬다.

${𝕊}^6\cong \mathrm{SO}(7)/\mathrm{SO}(6)$

${𝕊}^6\cong G_2/\mathrm{SU}(3)$틀:Rp

6차원 초구는 또한 순허수 팔원수 가운데 절댓값이 1인 것들의 공간으로 여길 수 있다.

${𝕊}^6\cong \{x\in 𝕆:\overline{x}=-x,|x|=1\}$

성질

개복소구조

SU(3)의 작용으로 인하여, 6차원 초구는 표준적으로 개복소다양체를 이룬다. 즉, 대칭 공간 ${𝕊}^6\cong G_2/\mathrm{SU}(3)$에 의하여, 임의의 점 $x\in {𝕊}^6$에서 포함 관계 $\mathrm{SU}(3)\hookrightarrow \mathrm{SO}({\mathrm{T}}_x{𝕊}^6)\cong \mathrm{SO}(6)$가 존재하며, 이는 각 접공간 위에 복소수 내적 공간의 구조를 정의한다. 그러나 이 경우 네이엔하위스 텐서장이 0이 아니어서 이는 복소다양체가 아니다.

팔원수로서, 점 $x\in 𝕆$에서의 접다발은 순허수 팔원수 가운데 $x$와 수직인 것의 공간이다. 이 경우 개복소구조는 $x$에 의한 곱셈에 해당한다.

6차원 초구가 복소다양체를 이룰 수 있는지 여부는 현재 (2019년) 유명한 미해결 난제이다.

호모토피 군

6차원 초구의 15차 이하의 호모토피 군 가운데 자명군이 아닌 것은 다음과 같다.

${\pi }_6({𝕊}^6)\cong {\pi }_{11}({𝕊}^6)\cong \mathrm{Cyc}(\mathrm{\infty })$

${\pi }_7({𝕊}^6)\cong {\pi }_8({𝕊}^6)\cong {\pi }_{12}({𝕊}^6)\cong \mathrm{Cyc}(2)$

${\pi }_9({𝕊}^6)\cong \mathrm{Cyc}(24)$

${\pi }_{13}({𝕊}^7)\cong \mathrm{Cyc}(60)$

${\pi }_{14}({𝕊}^7)\cong \mathrm{Cyc}(24)\oplus \mathrm{Cyc}(2)$

${\pi }_{15}({𝕊}^7)\cong \mathrm{Cyc}(2)\oplus \mathrm{Cyc}(2)\oplus \mathrm{Cyc}(2)$

여기서 $\mathrm{Cyc}(k)$는 $k$차 순환군이다.

역사

1955년에 후카미 데쓰조(틀:Llang)와 이시하라 시게루(틀:Llang)가 6차원 초구가 G₂/SU(3)이며, 개복소다양체를 이룬다는 것을 증명하였다.

외부 링크

• 틀:Nlab
• 틀:Nlab