횡단성

틀:위키데이터 속성 추적 미분기하학에서, 횡단성(橫斷性, 틀:Llang)은 두 부분 다양체 또는 (보다 일반적으로) 같은 공역을 갖는 두 함수 사이에 정의되는 대칭 관계이다. 횡단성은 작은 호모토피에 대하여 불변이며(안정성), 거의 모든 함수에 대하여 성립한다(일반성). 서로 횡단적인 두 부분 다양체의 교집합은 부분 다양체를 이룬다.

정의

다음이 주어졌다고 하자.

• 매끄러운 다양체 $X$, $Y$, $M$
• 매끄러운 함수 $f:X\to M$, $g:Y\to M$

만약 다음 조건이 성립한다면, $f$와 $g$가 서로 횡단적이라고 하며, $f⋔g$로 표기한다.

• 임의의 $x\in X$ 및 $y\in Y$에 대하여, 만약 $f(x)=g(y)=m\in M$라면, ${\mathrm{D}}_{x}f({\mathrm{T}}_{x}X)+{\mathrm{D}}_{y}g({\mathrm{T}}_{y}Y)={\mathrm{T}}_{m}M$이다.

$\begin{array}{ccccc}X& \stackrel{f}{\to }& M& \stackrel{g}{\leftarrow }& Y\\ x& \mapsto & m& \leftarrow \mapsto ◼◼& y\\ {\mathrm{T}}_{x}X& \to {\mathrm{D}}_{x}f& {\mathrm{T}}_{m}M& \leftarrow {\mathrm{D}}_{y}g& {\mathrm{T}}_{y}Y\end{array}$

부분 다양체 $X\subseteq M$는 포함 사상 $i:X\hookrightarrow M$으로 여길 수 있다. 두 부분 다양체(또는 부분 다양체와 매끄러운 함수)가 서로 횡단적이라는 것은 이 포함 사상에 대한 것이다.

성질

매끄러운 다양체 $M$의 부분 다양체 $X\hookrightarrow M$ 및 매끄러운 함수 $g:Y\to M$가 주어졌다고 하자. 만약 $X⋔g$라면,

$g^{-1}(X)=\{y\in Y:g(y)\in X\}$

는 $Y$의 부분 다양체이며, 그 여차원은 $X$의 여차원과 같다.

${\mathrm{codim}}_Y{g}^{-1}X\dim Y-\dim g^{-1}(X)={\mathrm{codim}}_{M}X=\dim M-\dim X$

특히, 만약 $g$ 역시 매장이라고 하자. 즉, 두 부분 다양체 $X,Y\subseteq M$가 주어졌다고 하고, $X⋔Y$라고 하자. 그렇다면, $X\cap Y\subseteq M$ 역시 부분 다양체이며,

${\mathrm{codim}}_M(X\cap Y)={\mathrm{codim}}_{M}X+{\mathrm{codim}}_{M}Y$

이다. 즉, $\dim (X\cap Y)=\dim X+\dim Y-\dim M$ 이다.

안정성

다음이 주어졌다고 하자.

• 매끄러운 함수 $f:X\to M$
• 매끄러운 호모토피 $g:[0,1]\times Y\to M$, $(t,y)\mapsto g_t(y)$

그렇다면, 만약 $f⋔g_0$이라면,

$\inf \{t\in [0,1]:f⋔g_t\}>0$

이다. 즉, 어떤 $ϵ>0$에 대하여, 모든 $t\in [0,ϵ)$에 대하여 $f⋔g_t$이게 된다.

일반성

다음이 주어졌다고 하자.

• 매끄러운 다양체 $X,Y,M$
• 경계다양체 $S$
• 매끄러운 함수 $f:X\to M$
• 매끄러운 함수 $g:S\times Y\to M$, $(s,y)\mapsto g_s(y)$

또한,

• $f⋔g$
• $f⋔(g\upharpoonright \partial S\times Y)$

라고 하자. 톰 횡단 정리(틀:Llang)에 따르면, 다음이 성립한다.

• 거의 모든 $s\in S$에 대하여, $f⋔g_s$이다.
• 거의 모든 $s\in \partial S$에 대하여, $f⋔g_s$이다.

여기서 “거의 모든”은 $S$ 또는 $\partial S$의 르베그 측도에 대한 것이다. 즉, 이 조건이 실패하는 $s$의 집합은 영집합이다.

역사

톰 횡단 정리는 르네 톰이 증명하였다.

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:Eom
• 틀:Nlab
• 틀:웹 인용