삼중성 리 대수

팔원수에 대응되는 삼중성 리 대수 ${𝔡}_4=𝔬(8)=𝔱𝔯𝔦(𝕆)$의 딘킨 도표는 삼중성에 의하여 Sym(3) 대칭을 갖는다.

추상대수학에서 삼중성 리 대수(三重性Lie代數, 틀:Llang)는 합성 대수로부터 정의되는, 3차 대칭군의 작용을 갖는 특별한 리 대수이다. 가장 대표적인 예는 팔원수로부터 정의되는 실수 리 대수 $𝔬(8)$이며, 이에 따라 이 리 대수의 8차원 벡터 표현 및 8차원 왼쪽·오른쪽 마요라나-바일 스피너들이 서로 삼중성 아래 순열로 변환한다.

정의

$K$가 2와 3이 가역원인 체라고 하자. $K$ 위의 합성 대수 $A$ 에 대하여, 다음을 정의하자.

$𝔱𝔯𝔦(A)=\{(A,B,C)\in 𝔬(A,Q{)}^{\oplus 3}:A(x\star y)=x\star By+Cx\star y\mathrm{\forall }x,y\in A\}$

여기서 $𝔬(A,Q)$는 $A$의 이차 형식 $Q:A\to K$(에 대응하는 대칭 쌍선형 형식)에 대한 직교 리 대수이다.

이는 $𝔬(A,Q{)}^{\oplus 3}$의 부분 리 대수를 이룬다. 이를 $A$의 삼중성 리 대수라고 하며, $𝔱𝔯𝔦(A)$로 표기한다.틀:Rp틀:Rp

이는 다음과 같은 $K$-벡터 공간 동형 사상을 갖는다.

$𝔱𝔯𝔦(A)\cong 𝔡𝔢𝔯(A)\oplus \mathrm{Im}(A)\oplus \mathrm{Im}(A)$

증명:

각 $a\in A$에 대하여, 교환자

$[x,y,z]=(x\star y)z-x(y\star z)$

를 정의하면, 교대 법칙에 의하여

$[a,x,y]+[x,a,y]=0$

이며, 이는

$({𝖫}_a,-{𝖫}_a,{𝖫}_a+{𝖱}_a)\in 𝔱𝔯𝔦(A)\mathrm{\forall }a\in A$

로 번역된다. 마찬가지로

$[x,y,b]+[x,b,y]=0$

은

$({𝖱}_b,{𝖫}_b+{𝖱}_b,-{𝖱}_b)\in 𝔱𝔯𝔦(A)$

로 번역된다. 이들은 각각 선형 변환

$K\hookrightarrow 𝔱𝔯𝔦(A)$

를 정의한다.

이에 따라, $K$-선형 변환

$𝔡𝔢𝔯(A)\oplus K\oplus K\to 𝔱𝔯𝔦(A)$

$(\delta ,a,b)\mapsto (\delta ,0,0)+({𝖫}_a,-{𝖫}_a,{𝖫}_a+{𝖱}_a)+({𝖱}_b,{𝖫}_b{𝖱}_b,-{𝖱}_b)$

이 존재한다. 또한, 이는 왼쪽 역사상

$(A,B,C)\mapsto (A-{𝖫}_a+{𝖱}_b,a,b)$

$a=\frac{1}{3}B(1)+\frac{2}{3}C(1)$

$b=\frac{2}{3}B(1)+\frac{1}{3}C(1)$

를 갖는 것을 쉽게 확인할 수 있으며, 이 왼쪽 역사상은 단사 함수인 것을 다음과 같이 쉽게 확인할 수 있다.

$B(y)=A(1\star y)-C(1)\star y$

$C(x)=A(x\star 1)-x\star B(1)$

성질

3차 대칭군의 작용

$𝔱𝔯𝔦(A)$ 위에는 다음과 같은 자기 동형이 존재한다.

$\theta ,\zeta :𝔱𝔯𝔦(A)\to 𝔱𝔯𝔦(A)$

$\theta :(A,B,C)\mapsto (B^{*},C,A^{*})$

$\zeta :(A,B,C)\mapsto (A^{*},C^{*},B^{*})$

여기서

$A^{*}(x)=(A(x^{*}){)}^{*}$

를 뜻한다. 그렇다면,

${\theta }^2:(A,B,C)\mapsto (C^{*},A^{*},B)$

${\theta }^3={\zeta }^2=\mathrm{id}$

$\zeta \circ \theta ={\theta }^2\circ \zeta :(A,B,C)\mapsto (B,A,C^{*})$

$\theta \circ \zeta =\zeta \circ {\theta }^2:(A,B,C)\mapsto (C,B^{*},A)$

가 된다. 즉, 이는 군 준동형

$\mathrm{Sym}(3)\to \mathrm{Aut}(𝔱𝔯𝔦(A))$

를 정의한다 ($\mathrm{Sym}(3)$은 3차 대칭군). 이를 삼중성(틀:Llang)이라고 한다.

또한, $𝔡𝔢𝔯(A)$와 $𝔱𝔯𝔦(A)$ 사이에, $\mathrm{Im}(A{)}^{\oplus 2}$의 대각 성분으로 구성되는, 벡터 공간으로서 $𝔡𝔢𝔯(A)\oplus \mathrm{Im}(A)$인 리 대수 ${𝔱𝔯𝔦}^{\prime }(A)$가 존재한다. 이 위에는 $\mathrm{Sym}(3)$ 삼중성이 $\mathrm{Sym}(2)$ 이중성으로 깨지게 된다.

프로이덴탈 마방진과의 관계

두 실수 합성 대수 $A$, $B$에 대하여, 다음과 같은 표준적인 실수 벡터 공간 동형 사상이 존재한다.틀:Rp

$𝔣𝔯𝔢𝔲𝔡(3;A,B)\cong 𝔱𝔯𝔦(A)\oplus 𝔱𝔯𝔦(B)\oplus (A{\otimes }_{ℝ}B{)}^{\oplus 3}$

여기서 $𝔣𝔯𝔢𝔲𝔡(3;A,B)$는 $A$와 $B$로 정의되는 3×3 프로이덴탈 마방진 실수 리 대수이다. 특히, 우변에서 $𝔱𝔯𝔦(A)\oplus 𝔱𝔯𝔦(B)$는 $𝔣𝔯𝔢𝔲𝔡(3;A,B)$의 부분 리 대수를 이룬다.

또한, 임의의 실수 합성 대수 $A$에 대하여, 그 위의 3×3 에르미트 행렬로 구성된 실수 요르단 대수 $\mathrm{H}(3;A)$의 미분 리 대수는 다음과 같은 표준적인 실수 벡터 공간 동형 사상을 갖는다.틀:Rp

$𝔡𝔢𝔯(\mathrm{H}(3;A))\cong 𝔱𝔯𝔦(A)\oplus A^{\oplus 3}$

특히, 우변에서 $𝔱𝔯𝔦(A)$는 $𝔡𝔢𝔯(\mathrm{H}(3;A))$의 부분 리 대수이다.

예

실수 합성 대수에 대하여, 삼중성 리 대수는 다음과 같다.

실수 합성 대수 $A$	$𝔡𝔢𝔯(A)$	${𝔱𝔯𝔦}^{\prime }(A)$	$𝔱𝔯𝔦(A)$
$ℝ$	0	0	0
$ℂ$	0	$𝔬(2)$	$𝔬(2{)}^{\oplus 2}$
$\widetilde{ℂ}$	0	$𝔬(1,1)$	$𝔬(1,1{)}^{\oplus 2}$
$ℍ$	$𝔬(3)$	$𝔬(4)$	$𝔬(3{)}^{\oplus 3}$
$\widetilde{ℍ}$	$𝔬(1,2)$	$𝔬(2,2)$	$𝔬(1,2{)}^{\oplus 3}$
$𝕆$	${𝔤}_2$	$𝔬(7)$	$𝔬(8)$
$\widetilde{𝕆}$	${𝔤}_{2(2)}$	$𝔬(3,4)$	$𝔬(4,4)$

여기서 $\widetilde{ℂ}=ℝ\oplus ℝ$, $\widetilde{ℍ}=\mathrm{Mat}(2,ℝ)$, $\widetilde{𝕆}=\mathrm{Zorn}(ℝ)$는 각각 분할복소수 · 분할 사원수 · 분할 팔원수의 실수 합성 대수이다.

같이 보기

• 삼중곱

외부 링크

• 틀:웹 인용